2023年黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷

一、单项选择题（共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

• 1．若集合

  A

  =

  {

  x

  |

  y

  =

  1

  -

  x

  }

  ，B={x|x²-2x≥0}，则A∩B=（　　）

  A．（-∞，0]

  B．（0，1]

  C．（-∞，0）

  D．[0，1]
  组卷：101引用：3难度：0.7

  解析

• 2．若复数

  z

  =

  2

  +

  i

  1

  -

  i

  ，则|z|=（　　）

  A．1

  B． 10 2

  C． 10 4

  D． 10
  组卷：209引用：12难度：0.7

  解析

• 3．已知

  |

  b

  |

  =

  3

  ，且

  a

  •

  b

  =

  -

  2

  ，则向量

  a

  在向量

  b

  上的投影向量为（　　）

  A． - 2 3 a

  B． 2 3 a

  C． - 2 3 b

  D． 2 3 b
  组卷：457引用：3难度：0.6

  解析

• 4．已知命题p：tanα=3，命题q：cos2α=-

  4

  5

  ，则命题p是命题q的（　　）

  A．充要条件	B．充分不必要条件
  C．必要不充分条件	D．既不充分也不必要条件
  组卷：98引用：1难度：0.7

  解析

• 5．在

  （

  3

  x

  -

  2

  x

  ）

  8

  的展开式中，常数项为（　　）

  A．-112

  B．112

  C．-1120

  D．1120
  组卷：475引用：2难度：0.8

  解析

• 6．圭表，是度量日影长度的一种天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成．圭表和日晷一样，也是利用日影进行测量的古代天文仪器．所谓高表测影法，通俗的说，就是垂直于地面立一根杆，通过观察记录它正午时影子的长短变化来确定季节的变化．垂直于地面的直杆叫“表”，水平放置于地面上刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”，如图1，利用正午时太阳照在表上，表在圭上的影长来确定节令．已知某地夏至和冬至正午时，太阳光线与地面所成角分别约为α，β，如图2，若影长之差CD=a尺，则表高AB为（　　）尺．
  

  A． a （ tanα - tanβ ） tanαtanβ	B． tanα - tanβ atanαtanβ
  C． atanαtanβ tanα - tanβ	D． tanαtanβ a （ tanαtanβ ）
  组卷：180引用：1难度：0.5

  解析

• 7．设f（x）是定义在R上的可导函数，f（x）的导函数为f'（x），且f'（x）•f（x）＞2x³在R上恒成立，则下列说法中正确的是（　　）

  A．f（2023）＜f（-2023）	B．f（2023）＞f（-2023）
  C．|f（2023）|＜|f（-2023）|	D．|f（2023）|＞|f（-2023）|
  组卷：128引用：2难度：0.4

  解析

三、解答题：（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

• 21．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥A₁B₁，AB⊥BC，侧面BCC₁B₁为菱形．
  （1）求证：平面ABC₁⊥平面AB₁C；
  （2）若BC=2AB=2，∠B₁BC=60°，求二面角B₁-AC₁-B的正弦值．
  组卷：106引用：1难度：0.5

  解析

• 22．我国南北朝时期的数学家祖冲之（公元429年-500年）计算出圆周率的精确度记录在世界保持了千年之久，德国数学家鲁道夫（公元1540年-1610年）用一生精力计算出了圆周率的35位小数，随着科技的进步，一些常数的精确度不断被刷新．例如：我们很容易能利用计算器得出函数J（x）=e^x+x（e=2.71828…）的零点x₀的近似值，为了实际应用，本题中取x₀的值为-0.57．哈三中毕业生创办的仓储型物流公司建造了占地面积足够大的仓库，内部建造了一条智能运货总干线C₁，其在已经建立的直角坐标系中的函数解析式为

  g

  （

  x

  ）

  =

  ln

  （

  x

  -

  2

  -

  1

  x

  0

  ）

  ，其在x=2处的切线为L₁：y=ψ（x）．现计划再建一条总干线C₂：y=e^x+m，其中m为待定的常数．
  注明：本题中计算的最终结果均用数字表示．
  （1）求出L₁的直线方程，并且证明：在直角坐标系中，智能运货总干线C₁上的点不在直线L₁的上方；
  （2）在直角坐标系中，设直线

  L

  2

  ：

  y

  =

  ψ

  （

  x

  -

  x

  0

  3

  ）

  ，计划将仓库中直线L₁与L₂之间的部分设为隔离区，两条运货总干线C₁、C₂分别在各自的区域内，即曲线C₂上的点不能越过直线L₂，求实数m的取值范围．
  组卷：58引用：4难度：0.3

  解析