2020-2021学年江苏省南通市海门一中高二（上）期末数学试卷

一、单项选择题：本大题共8小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案填涂在答题卡相应的位置上．

• 1．在复平面xOy内，复数z对应的向量

  OZ

  =（1，-1），

  z

  是复数z的共轭复数，i为虚数单位，则复数z²+

  z

  的虚部是（　　）

  A．1

  B．-1

  C．-i

  D．-3
  组卷：10引用：1难度：0.8

  解析

• 2．若数列{a_n}的前n项和为S_n，通项公式为

  a

  n

  =

  2

  n

  ，则满足

  1

  u

  S

  n

  +

  v

  =

  1

  a

  n

  -

  1

  a

  n

  +

  1

  （

  n

  ∈

  N

  *

  ）

  的实数对（u,v）为（　　）

  A．（1，0）

  B．（1，2）

  C．（1，-2）

  D．（2，2）
  组卷：9引用：1难度：0.8

  解析

• 3．任何一个复数z=a+bi（其中a,b∈R，i为虚数单位）都可以表示成z=r（cosθ+isinθ）（其中r≥0，θ∈R）的形式，通常称之为复数z的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：[r（cosθ+isinθ）]ⁿ=rⁿ（cosnθ+isinnθ）（n∈Z），我们称这个结论为棣莫弗定理．由棣莫弗定理可知，“n为偶数”是“复数

  （

  cos

  π

  2

  +

  isin

  π

  2

  ）

  n

  （

  n

  ∈

  Z

  ）

  为实数”的（　　）

  A．充分不必要	B．必要不充分条件
  C．充要条件	D．既不充分也不必要条件
  组卷：95引用：3难度：0.8

  解析

• 4．若命题：“∃x₀∈R，ax²-ax-2＞0”为假命题，则a的取值范围是（　　）

  A．（-∞，-8]∪[0，+∞）	B．（-8，0）
  C．（-∞，0]	D．[-8，0]
  组卷：161引用：4难度：0.9

  解析

• 5．已知曲线C的方程为

  x

  2

  k

  2

  -

  1

  -

  y

  2

  3

  -

  k

  =

  1

  （

  k

  ∈

  R

  ）

  ，则下列结论正确的是（　　）

  A．当k=4时，曲线C为椭圆，其焦距为8

  B．当k=2时，曲线C为双曲线，其离心率为 2 3 3

  C．存在实数k,使得曲线C为焦点在y轴上的双曲线

  D．存在实数k,使得曲线C为焦点在y轴上的椭圆
  组卷：21引用：1难度：0.6

  解析

• 6．若曲线y=xe^x-ax与直线x-y=0相切（e是自然对数的底数），则实数a的值为（　　）

  A．e

  B．-1

  C． e

  D．0
  组卷：79引用：2难度：0.6

  解析

• 7．中国当代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“二百五十二里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：“有一个人走252里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，则最后一天走了（　　）

  A．4里

  B．16里

  C．64里

  D．128里
  组卷：152引用：5难度：0.7

  解析

四、解答题：本大题共6小题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

• 21．已知椭圆

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的左顶点和右焦点F的距离与右焦点F到椭圆C的右准线的距离相等，且椭圆C的通径（过椭圆的焦点，且与长轴垂直的弦）长为3．
  （1）求椭圆C的方程；
  （2）设直线l过点F，且与坐标轴不垂直，与椭圆C相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点B．
  ①当

  BF

  =

  6

  7

  时，求直线l的方程；
  ②求证：

  PQ

  BF

  为定值．
  组卷：49引用：1难度：0.6

  解析

• 22．设a∈R，函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  lnx

  -

  ax

  +

  1

  x

  2

  ．
  （1）求函数f（x）的导函数f′（x）的最大值（用a表示）；
  （2）若对∀x≥1，f（x）≤0成立，求实数a的取值范围；
  （3）已知函数f（x）存在极大值与极小值．记函数f（x）的极大值为M，求证：

  M

  ＞

  1

  4

  ．
  组卷：19引用：1难度：0.3

  解析