2022年北京市高级中等学校自主招生数学试卷

一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．

• 1．如图是某几何体的三视图，该几何体是（　　）

  A．长方体

  B．三棱柱

  C．圆锥

  D．圆柱
  组卷：166引用：11难度：0.6

  解析

• 2．2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法表示应为（　　）

  A．3.6×104

  B．3.6×105

  C．0.36×104

  D．36×104
  组卷：91引用：6难度：0.9

  解析

• 3．如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（　　）

  A．∠1=∠2

  B．∠2=∠3

  C．∠1＞∠4+∠5

  D．∠2＜∠5
  组卷：1199引用：17难度：0.9

  解析

• 4．下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（　　）

  A．

  B．

  C．

  D．
  组卷：675引用：8难度：0.9

  解析

• 5．正五边形的外角和为（　　）

  A．180°

  B．360°

  C．540°

  D．720°
  组卷：2282引用：57难度：0.8

  解析

• 6．实数a在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数b满足-a＜b＜a,则b的值可以是（　　）
  

  A．-3

  B．-2

  C．-1

  D．2
  组卷：575引用：18难度：0.7

  解析

• 7．不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（　　）

  A． 1 4

  B． 1 3

  C． 1 2

  D． 2 3
  组卷：2149引用：49难度：0.8

  解析

• 8．有一个装有水的容器，如图所示，容器内的水面高度是10cm,现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（　　）

  A．正比例函数关系	B．一次函数关系
  C．二次函数关系	D．反比例函数关系
  组卷：2406引用：24难度：0.6

  解析

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

• 9．若代数式

  1

  x

  -

  7

  有意义，则实数x的取值范围是

  ．
  组卷：1546引用：34难度：0.9

  解析

三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每小题5分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

• 27．在△ABC中，∠C=90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线AC上一动点，连接DE．过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．
  （1）如图1，当E是线段AC的中点时，设AE=a,BF=b,求EF的长（用含a,b的式子表示）；
  （2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．
  
  组卷：6495引用：21难度：0.5

  解析

• 28．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB=1．
  给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A'B'（A'，B′分别为点A，B的对应点），线段AA'长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．
  （1）如图，平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P₁P₂和P₃P₄，则这两条弦的位置关系是

  ；在点P₁，P₂，P₃，P₄中，连接点A与点

  的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”；
  （2）若点A，B都在直线y=

  3

  x+2

  3

  上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d₁，求d₁的最小值；
  （3）若点A的坐标为（2，

  3

  2

  ），记线段AB到⊙O的“平移距离”为d₂，直接写出d₂的取值范围．
  组卷：4560引用：8难度：0.4

  解析