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2023年甘肃省金昌市高考数学二模试卷（文科）

发布：2025/11/6 16:1:8

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．在边长为2的正三角形ABC中，
AB
•
AC
=（　　）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
组卷：178引用：6难度：0.9
2．某艺术馆有一间边长为10m的正方形展厅，设计师准备在展厅地面铺设深浅两种颜色边长均为1m的正方形瓷砖．如图，先在一个墙角铺一块深色瓷砖（左上角），然后在这块砖外侧铺一层浅色瓷砖，再在浅色瓷砖外侧铺一层深色瓷砖……像这样一层一层向外，两种颜色相间铺设，直到铺满整个展厅．若在这个展厅内随机抛一枚硬币（大小忽略不计），则硬币最后落在深色瓷砖上的概率为（　　）
A．
9
20
B．
1
2
C．
11
20
D．
13
20
组卷：21引用：2难度：0.8
3．函数
f
（
x
）
=
6
x
-
lo
g
2
x
的零点所在区间是（　　）
A．（0，1） B．（1，2） C．（3，4） D．（4，+∞）
组卷：1237引用：15难度：0.7
4．已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若3S_n=3ⁿ⁺¹+λ，则λ=（　　）
A．3 B．1 C．-1 D．-3
组卷：188引用：2难度：0.8
5．阅读如图所示的程序框图，若输入的k=8，则该算法的功能是（　　）
A．计算数列{2ⁿ-1}的前8项和
B．计算数列{2ⁿ-1}的前7项和
C．计算数列{2^n-1}的前8项和
D．计算数列{2^n-1}的前7项和
组卷：24引用：2难度：0.8
6．已知双曲线
C
：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
的右焦点为F，关于原点对称的两点A、B分别在双曲线的左、右两支上，
AF
•
FB
=
0
，
3
BF
=
FC
且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（　　）
A．
2
B．
10
2
C．
3
D．2
组卷：1119引用：15难度：0.5
7．下列关于抛物线C：
x
2
=
-
4
5
y
的说法正确的是（　　）
A．开口向右，准线方程为
x
=
-
1
5
B．开口向下，准线方程为
y
=
1
5
C．开口向左，准线方程为
x
=
1
5
D．开口向上，准线方程为
y
=
-
1
5
组卷：21引用：1难度：0.8
8．已知圆台的上下底面半径分别为1和2，侧面积为
3
5
π
，则该圆台的体积为（　　）
A．
8
π
3
B．
14
π
3
C．5π D．
16
π
3
组卷：332引用：10难度：0.8
9．已知
sinθ
+
cosθ
sinθ
-
cosθ
=2，则sinθcosθ的值是（　　）
A．
3
4
B．±
3
10
C．
3
10
D．-
3
10
组卷：717引用：12难度：0.9
10．若函数f（x）=2x³-ax²（a＜0）在
（
a
2
，
a
+
6
3
）
上有最大值，则a的取值范围为（　　）
A．[-4，0） B．（-∞，-4] C．[-2，0） D．（-∞，-2]
组卷：156引用：2难度：0.5
11．若复数z满足（1-i）z=-1+2i,则|
z
|=（　　）
A．
2
2
B．
3
2
C．
10
2
D．
1
2
组卷：138引用：6难度：0.8
12．已知集合A={x|x-1＞0}，B={x|x²-2x≤0}，则A∩B=（　　）
A．[0，2] B．[1，2） C．（1，2] D．[2，+∞）
组卷：248引用：7难度：0.8

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．对于函数y=x^x（x＞0）可以采用下列方法求导数：由y=x^x可得lny=xlnx,两边求导可得y'×
1
y
=lnx+1，故y'=y（lnx+1）=x^x.（lnx+1）．根据这一方法，可得函数f（x）=x^lnx+1（x＞0）的极小值为
．
组卷：13引用：1难度：0.6
14．函数y=
1
1
-
x
的图象与函数y=2sinπx（-2≤x≤4）的横坐标之和等于
．
组卷：101引用：7难度：0.5
15．△ABC中，AB=AC=3，BC=2，沿BC将△ABC折起到△PBC位置，P点不在△ABC面内，当三棱锥P-ABC的体积最大时，三棱锥P-ABC的外接球半径是
；当PA=
2
时，三棱锥P-ABC的外接球表面积是
．
组卷：11引用：2难度：0.5
16．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₃+a₇=14，S₅=15，则a₄=
．
组卷：33引用：2难度：0.7

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

17．某市疫情防控常态化，在进行核酸检测时需要一定量的志愿者．现有甲、乙、丙3名志愿者被随机地分到A，B两个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．
（1）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；
（2）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率．
组卷：316引用：3难度：0.9
18．近日我渔船编队在钓鱼岛附近点A周围海域作业，在B处的海监15船测得A在其南偏东45°方向上，测得渔政船310在其北偏东15°方向上，且与B的距离为4
3
海里的C处．某时刻，海监15船发现日本船向在点A周围海域作业的我渔船编队靠近，上级指示渔政船310立刻全速前往点A周围海域执法，海监15船原地监测．渔政船310走到B正东方向D处时，测得距离B为4
2
海里．若渔政船以23海里/小时的速度航行，求其到达点A所需的时间．
组卷：24引用：2难度：0.5
19．已知集合D={（x₁，x₂）|x₁+x₂=2，x₁＞0，x₂＞0}．
（1）求
x
2
1
+
x
2
2
的最小值；
（2）对任意（a,b）∈D，证明：
1
a
+
2
b
+
1
2
a
+
b
≥
2
3
．
组卷：13引用：1难度：0.5
20．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
x
=
3
2
t
,
y
=
1
2
t
（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ²+8ρ²sin²θ-9=0．
（Ⅰ）求直线l的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|OA|+|OB|的值．
组卷：44引用：2难度：0.6
21．如图，四棱锥P-ABCD中，平面PDC⊥底面ABCD，△PDC是等边三角形，底面ABCD为梯形，且∠DAB=60°，AB∥CD，DC=AD=2AB=2．
（Ⅰ）证明：BD⊥PC；
（Ⅱ）求A到平面PBD的距离．
组卷：199引用：5难度：0.5
22．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆Ω，它的离心率为
1
2
，一个焦点和抛物线y²=-4x的焦点重合，过直线l：x=4上一点M引椭圆Ω的两条切线，切点分别是A，B．
（Ⅰ）求椭圆Ω的方程；
（Ⅱ）若在椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
上的点（x₀，y₀）处的椭圆的切线方程是
x
0
x
a
2
+
y
0
y
b
2
=1．求证：直线AB恒过定点C；并求出定点C的坐标．
组卷：84引用：1难度：0.1
23．已知函数f（x）=x³+klnx（k∈R），f'（x）为f（x）的导函数．当k=6时，求：
（1）曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数
g
（
x
）
=
f
（
x
）
-
f
′
（
x
）
+
9
x
的单调区间和极值．
组卷：247引用：8难度：0.4

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2023年甘肃省金昌市高考数学二模试卷（文科）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．在边长为2的正三角形ABC中，AB•AC=（ ）

3．函数f（x）=6x-log2x的零点所在区间是（ ）

4．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若3Sn=3n+1+λ，则λ=（ ）

5．阅读如图所示的程序框图，若输入的k=8，则该算法的功能是（ ）

6．已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，关于原点对称的两点A、B分别在双曲线的左、右两支上，AF•FB=0，3BF=FC且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）

7．下列关于抛物线C：x2=-45y的说法正确的是（ ）

8．已知圆台的上下底面半径分别为1和2，侧面积为35π，则该圆台的体积为（ ）

9．已知sinθ+cosθsinθ-cosθ=2，则sinθcosθ的值是（ ）

10．若函数f（x）=2x3-ax2（a＜0）在（a2，a+63）上有最大值，则a的取值范围为（ ）

11．若复数z满足（1-i）z=-1+2i,则|z|=（ ）

12．已知集合A={x|x-1＞0}，B={x|x2-2x≤0}，则A∩B=（ ）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．对于函数y=xx（x＞0）可以采用下列方法求导数：由y=xx可得lny=xlnx,两边求导可得y'×1y=lnx+1，故y'=y（lnx+1）=xx.（lnx+1）．根据这一方法，可得函数f（x）=xlnx+1（x＞0）的极小值为．

14．函数y=11-x的图象与函数y=2sinπx（-2≤x≤4）的横坐标之和等于．

15．△ABC中，AB=AC=3，BC=2，沿BC将△ABC折起到△PBC位置，P点不在△ABC面内，当三棱锥P-ABC的体积最大时，三棱锥P-ABC的外接球半径是 ；当PA=2时，三棱锥P-ABC的外接球表面积是 ．

16．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3+a7=14，S5=15，则a4=．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

19．已知集合D={（x1，x2）|x1+x2=2，x1＞0，x2＞0}．（1）求x21+x22的最小值；（2）对任意（a,b）∈D，证明：1a+2b+12a+b≥23．

21．如图，四棱锥P-ABCD中，平面PDC⊥底面ABCD，△PDC是等边三角形，底面ABCD为梯形，且∠DAB=60°，AB∥CD，DC=AD=2AB=2．（Ⅰ）证明：BD⊥PC；（Ⅱ）求A到平面PBD的距离．

23．已知函数f（x）=x3+klnx（k∈R），f'（x）为f（x）的导函数．当k=6时，求：（1）曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数g（x）=f（x）-f′（x）+9x的单调区间和极值．

1．在边长为2的正三角形ABC中，
AB
•
AC
=（　　）

3．函数
f
（
x
）
=
6
x
-
lo
g
2
x
的零点所在区间是（　　）

4．已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若3S_n=3ⁿ⁺¹+λ，则λ=（　　）

5．阅读如图所示的程序框图，若输入的k=8，则该算法的功能是（　　）

6．已知双曲线
C
：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
的右焦点为F，关于原点对称的两点A、B分别在双曲线的左、右两支上，
AF
•
FB
=
0
，
3
BF
=
FC
且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（　　）

7．下列关于抛物线C：
x
2
=
-
4
5
y
的说法正确的是（　　）

8．已知圆台的上下底面半径分别为1和2，侧面积为
3
5
π
，则该圆台的体积为（　　）

9．已知
sinθ
+
cosθ
sinθ
-
cosθ
=2，则sinθcosθ的值是（　　）

10．若函数f（x）=2x³-ax²（a＜0）在
（
a
2
，
a
+
6
3
）
上有最大值，则a的取值范围为（　　）

11．若复数z满足（1-i）z=-1+2i,则|
z
|=（　　）

12．已知集合A={x|x-1＞0}，B={x|x²-2x≤0}，则A∩B=（　　）

13．对于函数y=x^x（x＞0）可以采用下列方法求导数：由y=x^x可得lny=xlnx,两边求导可得y'×
1
y
=lnx+1，故y'=y（lnx+1）=x^x.（lnx+1）．根据这一方法，可得函数f（x）=x^lnx+1（x＞0）的极小值为
．

14．函数y=
1
1
-
x
的图象与函数y=2sinπx（-2≤x≤4）的横坐标之和等于
．

15．△ABC中，AB=AC=3，BC=2，沿BC将△ABC折起到△PBC位置，P点不在△ABC面内，当三棱锥P-ABC的体积最大时，三棱锥P-ABC的外接球半径是
；当PA=
2
时，三棱锥P-ABC的外接球表面积是
．

16．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₃+a₇=14，S₅=15，则a₄=
．

19．已知集合D={（x₁，x₂）|x₁+x₂=2，x₁＞0，x₂＞0}．
（1）求
x
2
1
+
x
2
2
的最小值；
（2）对任意（a,b）∈D，证明：
1
a
+
2
b
+
1
2
a
+
b
≥
2
3
．

21．如图，四棱锥P-ABCD中，平面PDC⊥底面ABCD，△PDC是等边三角形，底面ABCD为梯形，且∠DAB=60°，AB∥CD，DC=AD=2AB=2．
（Ⅰ）证明：BD⊥PC；
（Ⅱ）求A到平面PBD的距离．

23．已知函数f（x）=x³+klnx（k∈R），f'（x）为f（x）的导函数．当k=6时，求：
（1）曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数
g
（
x
）
=
f
（
x
）
-
f
′
（
x
）
+
9
x
的单调区间和极值．