2021-2022学年重庆市西南大学附中高三（上）开学数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．

• 1．若2（z+

  z

  ）+3（z-

  z

  ）=4+6i,则z的虚部为（　　）

  A．1

  B．-1

  C．i

  D．-i
  组卷：5引用：1难度：0.8

  解析

• 2．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₉=81，则a₂+a₅+a₈=（　　）

  A．26

  B．27

  C．28

  D．29
  组卷：35引用：11难度：0.9

  解析

• 3．已知向量

  a

  ，

  b

  满足|

  a

  |=

  3

  ，|

  b

  |=2，且

  a

  ⊥（

  a

  -

  b

  ），则

  a

  在

  b

  方向上的投影为（　　）

  A． 3

  B．3

  C．- 3

  D． 3 2
  组卷：285引用：1难度：0.7

  解析

• 4．下列正确命题的序号有（　　）

  A．若随机变量X～B（100，p），且E（X）=20，则D（ 1 2 X+1）=8

  B．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D发生的概率分别为0.2，0.2，0.3，0.3，则A与B∪C∪D是互斥事件，也是对立事件

  C．在独立性检验中，K2的观测值越小，则认为“这两个分类变量有关”的把握越大

  D．由一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）得到回归直线方程 ̂ y = ̂ b x+ ̂ a ，那么直线 ̂ y = ̂ b x+ ̂ a 至少经过（x1，y1，），（x2，y2），…，（xn，yn）中的一个点
  组卷：38引用：2难度：0.5

  解析

• 5．已知函数f（x）=2sin（4x-

  π

  3

  ），则
  ①y=f（x）的图象关于点（-

  π

  6

  ，0）对称；
  ②y=f（x）在[-

  π

  12

  ，

  π

  6

  ]上的值域为[-2，

  3

  ]；
  ③y=f（x）的图象关于直线x=

  13

  π

  24

  对称；
  ④若f（x₁）f（x₂）=-4，则|x₁-x₂|_min=

  π

  4

  ．
  其中正确的有（　　）个

  A．1

  B．2

  C．3

  D．4
  组卷：16引用：1难度：0.6

  解析

• 6．A，B，C，D，E，F6名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第6名的名次．A，B，C去询问成绩，回答者对A说“很遗憾，你们三个都没有得到冠军．”对B说：“你的名次在C之前．”对C说：“你不是最后一名．”以上的回答分析，6人的名次排列情况种数共有（　　）

  A．108

  B．120

  C．144

  D．156
  组卷：116引用：4难度：0.8

  解析

• 7．定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），若对任意实数x,有f（x）＞f'（x），且f（x）+2022为奇函数，则不等式f（x）+2022e^x＜0的解集是（　　）

  A．（-∞，0）	B．（-∞，ln2022）
  C．（0，+∞）	D．（2022，+∞）
  组卷：262引用：4难度：0.6

  解析

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

• 21．椭圆E：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的左焦点为F₁，右焦点为F₂，离心率e=

  1

  2

  ，过F₁的直线交椭圆于AB，两点，且△ABF₂的周长为8．
  （1）求椭圆E的方程；
  （2）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
  组卷：93引用：3难度：0.4

  解析

• 22．已知函数f（x）=alnx-x,g（x）=

  1

  2

  x²-ax,a∈R．
  （1）若f（x）存在唯一的零点，求a的取值范围；
  （2）若f（x）=g（x）有两个不同的解x₁，x₂，求证：x₁+x₂＞2．
  组卷：92引用：1难度：0.2

  解析