2010-2011学年浙江省宁波市慈溪市部分学校八年级（下）数学竞赛试卷

一、选择题（每小题4分，共24分）

• 1．在一个不透明的口袋中放着红色、黑色、黄色的橡皮球共有30个，它们除颜色外其它全相同．小刚通过多次摸球试验后发现从中摸到红色球或黄色球的频率稳定在0.15和0.45之间，则口袋中黑色球的个数可能是（　　）

  A．14

  B．20

  C．9

  D．6
  组卷：134引用：4难度：0.9

  解析

• 2．已知点A的坐标为（2，3），O为坐标原点，连接OA，将线段OA绕点O按逆时针方向旋转90°得OA₁，再将点A₁作关于x轴对称得到A₂，则A₂的坐标为（　　）

  A．（-2，3）

  B．（-2，-3）

  C．（-3，-2）

  D．（3，2）
  组卷：99引用：4难度：0.9

  解析

• 3．若不等式组

  x + a ≥ 0

  1 - 2 x ＞ x - 2

  有解，则a的取值范围是（　　）

  A．a＞-1

  B．a≥-1

  C．a≤1

  D．a＜1
  组卷：5044引用：111难度：0.7

  解析

• 4．一些完全相同的小正方体搭成一个几何体，这个几何体从正面和左面看所得的平面图形均如图所示，小正方体的块数可能有（　　）

  A．7种

  B．8种

  C．9种

  D．10种
  组卷：2484引用：6难度：0.1

  解析

• 5．如图，在△ABC中，∠BAC、∠BCA的平分线相交于点I，若∠B=35°，BC=AI+AC，则∠BAC的度数为（　　）

  A．60°

  B．70°

  C．80°

  D．90°
  组卷：1373引用：6难度：0.3

  解析

• 6．如图，△AP₁B中，BP₁⊥AP₁，AP₁=2，∠A=30°，P₁Q₁⊥AB，Q₁P₂⊥AP₁，P₂Q₂⊥AB，Q₂P₃⊥AP₁…，P_nQ_n⊥AB，P_n+1Q_n⊥AP₁，则S=P₁Q₁+P₂Q₂+…+P_nQ_n+…的值为（　　）

  A．2

  B．3

  C．4

  D．8
  组卷：54引用：2难度：0.9

  解析

三、解答题（共四小题，46分）

• 19．阅读以下的材料：
  如果两个正数a,b,即a＞0，b＞0，则有下面的不等式：

  a

  +

  b

  2

  ≥

  ab

  ，当且仅当a=b时取到等号
  我们把

  a

  +

  b

  2

  叫做正数a,b的算术平均数，把

  ab

  叫做正数a,b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具，下面举一例子：
  例：已知x＞0，求函数

  y

  =

  x

  +

  4

  x

  的最小值．
  解：令

  a

  =

  x

  ,

  b

  =

  4

  x

  ，则由

  a

  +

  b

  ≥

  2

  ab

  ，得

  y

  =

  x

  +

  4

  x

  ≥

  2

  x

  •

  4

  x

  =

  4

  ，当且仅当

  x

  =

  4

  x

  时，即x=2时，函数有最小值，最小值为4．
  根据上面回答下列问题
  ①已知x＞0，则当x=

  时，函数

  y

  =

  2

  x

  +

  3

  x

  取到最小值，最小值为

  ；
  ②用篱笆围一个面积为100m²的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
  ③已知x＞0，则自变量x取何值时，函数

  y

  =

  x

  x

  2

  -

  2

  x

  +

  9

  取到最大值，最大值为多少？
  组卷：1349引用：11难度：0.1

  解析

• 20．将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB=

  2

  3

  ，P是AC上的一个动点．
  （1）当点P运动到∠ABC的平分线上时，连接DP，求DP的长；
  （2）当点P在运动过程中出现PD=BC时，求此时∠PDA的度数；
  （3）当点P运动到什么位置时，以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上？求出此时▱DPBQ的面积．
  组卷：2994引用：39难度：0.1

  解析