2022年北京市东城区高考数学一模试卷

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

• 1．已知集合A={x|x≥-1}，B={x||x-1|＜2}，则A∪B=（　　）

  A．{x|-1＜x＜3}

  B．{x|x＞-1}

  C．{x|-1≤x＜3}

  D．{x|x≥-1}
  组卷：205引用：1难度：0.9

  解析

• 2．下列函数中，定义域与值域均为R的是（　　）

  A．y=lnx

  B．y=ex

  C．y=x3

  D． y = 1 x
  组卷：658引用：3难度：0.7

  解析

• 3．已知复数z满足iz=2+i,则z的虚部为（　　）

  A．2

  B．-2

  C．1

  D．-1
  组卷：357引用：3难度：0.8

  解析

• 4．已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²，则{a_n}是（　　）

  A．公差为2的等差数列	B．公差为3的等差数列
  C．公比为2的等比数列	D．公比为3的等比数列
  组卷：467引用：7难度：0.7

  解析

• 5．已知

  sinα

  =

  3

  5

  ，则sin（π-2α）•tanα=（　　）

  A． 32 25

  B． - 32 25

  C． 18 25

  D． - 18 25
  组卷：550引用：3难度：0.9

  解析

• 6．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E为BC上一点，则三棱锥B₁-AC₁E的体积为（　　）

  A． 1 2

  B． 1 3

  C． 1 4

  D． 1 6
  组卷：637引用：9难度：0.7

  解析

• 7．在中国农历中，一年有24个节气，“立春”居首．北京2022年冬奥会开幕正逢立春，开幕式上“二十四节气”的倒计时让全世界领略了中华智慧．墩墩同学要从24个节气中随机选取3个介绍给外国的朋友，则这3个节气中含有“立春”的概率为（　　）

  A． 3 22

  B． 1 8

  C． 2 23

  D． 1 12
  组卷：336引用：2难度：0.7

  解析

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

• 20．已知椭圆

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的离心率为

  3

  2

  ，焦距为

  2

  3

  ．
  （Ⅰ）求椭圆C的方程；
  （Ⅱ）过点P（4，0）作斜率为k的直线l与椭圆C交于A，B两点．是否存在常数t,使得直线x=t与直线l的交点Q在A，B之间，且总有

  |

  PA

  |

  |

  PB

  |

  =

  |

  QA

  |

  |

  QB

  |

  ？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
  组卷：639引用：1难度：0.5

  解析

• 21．设数列A：a₁，a₂，…，a_n（n≥2）．如果a_i∈{1，2，…，n}（i=1，2，…，n），且当i≠j时，a_i≠a_j（1≤i,j≤n），则称数列A具有性质P．对于具有性质P的数列A，定义数列T（A）：t₁，t₂，…，t_n-1，其中t_k=

  1 ， a k ＜ a k + 1 ，

  0 ， a k ＞ a k + 1

  （

  k

  =

  1

  ，

  2

  ，…，

  n

  -

  1

  ）．
  （Ⅰ）对T（A）：0，1，1，写出所有具有性质P的数列A；
  （Ⅱ）对数列E：e₁，e₂，…，e_n-1（n≥2），其中e_i∈{0，1}（i=1，2，…，n-1），证明：存在具有性质P的数列A，使得T（A）与E为同一个数列；
  （Ⅲ）对具有性质P的数列A，若|a₁-a_n|=1（n≥5）且数列T（A）满足t_i=

  0 ， i 为奇数 ，

  1 ， i 为偶数

  （i=1，2，⋯，n-1），证明：这样的数列A有偶数个．
  组卷：311引用：5难度：0.4

  解析