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2020-2021学年陕西省西安中学高二（下）期中数学试卷（理科）

发布：2024/4/20 14:35:0

一、选择题（共十二题：共60分）

1．设i为虚数单位，则（x+i）⁶的展开式中含x⁴的项为（　　）
A．-15x⁴ B．15x⁴ C．-20ix⁴ D．20ix⁴
组卷：2431引用：14难度：0.9
解析
2．如图所示，曲线y=x²和曲线y=
x
围成一个叶形图（阴影部分），其面积是（　　）
A．1 B．
1
2
C．
1
3
D．
2
2
组卷：65引用：12难度：0.9
解析
3．函数y=e^x-ex的单调递增区间（　　）
A．（-∞，0） B．（-∞，1） C．（0，+∞） D．（1，+∞）
组卷：33引用：2难度：0.9
解析
4．设
a
=
1
2
，
b
=
7
-
5
，
c
=
6
-
2
，则a,b,c的大小顺序是（　　）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．b＞c＞a
组卷：24引用：4难度：0.7
解析
5．用数学归纳法证明“5ⁿ-2ⁿ能被3整除”的第二步中，n=k+1时，为了使用假设，应将5^k+1-2^k+1变形为（　　）
A．5（5^k-2^k）+3×2^k B．（5^k-2^k）+4×5^k-2^k
C．（5-2）（5^k-2^k） D．2（5^k-2^k）-3×5^k
组卷：342引用：16难度：0.9
解析
6．已知数列{a_n}满足
a
1
=
0
，
a
n
+
1
=
a
n
-
3
3
a
n
+
1
（
n
∈
N
+
）
，则a₂₀₂₁=（　　）
A．0 B．
3
2
C．
3
D．
-
3
组卷：28引用：1难度：0.6
解析
7．函数f（x）的图象如图所示，下列数值排序正确的是（　　）
A．0＜f'（2）＜f'（3）＜f（3）-f（2）
B．0＜f'（3）＜f（3）-f（2）＜f'（2）
C．0＜f'（3）＜f'（2）＜f（3）-f（2）
D．0＜f（3）-f（2）＜f'（2）＜f'（3）
组卷：105引用：10难度：0.7
解析

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三、解答题（共五题：共70分）

20．均值不等式
a
+
b
2
≥
ab
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
可以推广成均值不等式链，在不等式证明和求最值中有广泛的应用，具体为：
a
2
+
b
2
2
≥
a
+
b
2
≥
ab
≥
2
1
a
+
1
b
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
．
（1）证明不等式
a
+
b
2
≥
2
1
a
+
1
b
；
（2）上面给出的均值不等式链是二元形式，其中
a
2
+
b
2
2
≥
a
+
b
2
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
指的是两个正数的平方平均数不小它们的算数平均数，类比这个不等式给出对应的三元形式，即三个正数的平方平均数不小于它们的算数平均数，并尝试用分析法证明猜想．（n个数的平方平均数为
a
2
1
+
a
2
2
+
⋯
a
2
n
n
）
组卷：31引用：2难度：0.6
解析
21．已知函数f（x）=e^x-ax-1（a∈R）．
（1）当a=1时，证明f（x）≥0；
（2）讨论函数f（x）零点的个数．
组卷：35引用：4难度：0.5
解析