2022-2023学年湖南省衡阳市祁东二中高一（下）期中数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

• 1．已知m,n为实数，1-i（i为虚数单位）是关于x的方程x²-mx+n=0的一个根，则m+n=（　　）

  A．0

  B．1

  C．2

  D．4
  组卷：144引用：7难度：0.8

  解析

• 2．如图所示，四边形OABC是上底为1，下底为3，底角为45°的等腰梯形，由斜二测画法，画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，在直观图中的梯形的高为（　　）

  A． 2 4

  B． 2 3

  C． 2 2

  D． 2
  组卷：116引用：4难度：0.9

  解析

• 3．已知在正四面体A-BCD中，M为AB的中点，则直线CM与AD所成角的余弦值为（　　）

  A． 1 2

  B． 2 3

  C． 3 6

  D． 2 3
  组卷：572引用：14难度：0.7

  解析

• 4．在△ABC中，

  AC

  •

  （

  BA

  +

  BC

  ）

  =

  |

  AC

  |

  2

  ，则△ABC的形状一定是（　　）

  A．直角三角形	B．等腰三角形
  C．等边三角形	D．等腰直角三角形
  组卷：99引用：3难度：0.7

  解析

• 5．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P-ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA=AB=2，AC=4，三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（　　）

  A．8π

  B．12π

  C．20π

  D．24π
  组卷：1451引用：15难度：0.7

  解析

• 6．已知向量

  a

  =

  （

  1

  ，

  2

  x

  ）

  ，

  b

  =

  （

  0

  ，

  2

  ）

  ，则

  a

  •

  b

  a

  2

  的最大值为（　　）

  A． 2 2

  B．2

  C． 2

  D．1
  组卷：12引用：1难度：0.7

  解析

• 7．已知菱形ABCD的边长为2，菱形的对角线AC与BD交于点O，

  BA

  •

  BO

  =

  1

  ，点E是线段BD上靠近D的三等分点，则

  AE

  在

  AB

  上的投影向量的模长为（　　）

  A． 8 3

  B． 4 3

  C．1

  D．2
  组卷：54引用：2难度：0.5

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

• 21．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，E，F分别为CD，PB的中点．
  （1）求证：EF∥平面PAD．
  （2）在线段PC上是否存在一点Q使得A，E，Q，F四点共面？若存在，求出

  PQ

  QC

  的值；若不存在，请说明理由．
  组卷：1446引用：4难度：0.5

  解析

• 22．后疫情时代，很多地方尝试开放夜市地摊经济，多个城市也放宽了对摆摊的限制．某商场经营者也顺应潮流准备在商场门前摆地摊．已知该商场门前是一块扇形区域，拟对这块扇形空地AOB进行改造．如图所示，平行四边形OMPN区域为顾客的休息区域，阴影区域为“摆地摊”区域，点P在弧AB上，点M和点N分别在线段OA和线段OB上，且OA=90cm,

  ∠

  AOB

  =

  π

  3

  ．记∠POB=θ．
  （1）请写出顾客的休息区域OMPN的面积S关于θ的函数关系式，并求当θ为何值时，S取得最大值；
  （2）记

  OP

  =

  x

  OA

  +

  y

  OB

  ，若t=x+μy（μ＞0）存在最大值，求μ的取值范围．
  组卷：92引用：6难度：0.2

  解析