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2023年广东省广州市天河区高考数学三模试卷

发布：2024/4/29 8:6:34

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若集合M={0，1，2，3}，N={x|x²+x-6＜0}，则M∩N=（　　）
A．{0，1} B．{1，2} C．{0，1，2} D．{1，2，3}
组卷：100引用：1难度：0.9
解析
2．已知复数z满足|z|+z=2+4i,则z=（　　）
A．3+4i B．3-4i C．-3+4i D．-3-4i
组卷：214引用：7难度：0.8
解析
3．设两个单位向量
a
，
b
的夹角为θ，若
a
在
b
上的投影向量为
1
3
b
，则cosθ=（　　）
A．
-
1
3
B．
1
3
C．
-
2
2
3
D．
2
2
3
组卷：129引用：1难度：0.7
解析
4．小明的父母在他入读初中一年级起的9月1日向银行教育储蓄账户存入1000元，并且每年在9月1日当天都存入一笔钱，每年比上年多存1000元，即第二年存入2000元，第三年存入3000元，…，连续存6年，每年到期利息连同本金自动转存，在小明高中毕业的当年9月1日当天一次性取出，假设教育储蓄存款的年利率为p,不考虑利率的变化．在小明高中毕业的当年9月1日当天，一次性取出的金额总数（单位：千元）为（　　）
A．
（
1
+
p
）
7
-
（
1
+
7
p
）
p
B．
（
1
+
p
）
7
-
（
1
+
7
p
）
p
2
C．
（
1
+
p
）
8
-
（
1
+
p
）
（
1
+
7
p
）
p
D．
（
1
+
p
）
8
-
（
1
+
p
）
（
1
+
7
p
）
p
2
组卷：77引用：1难度：0.5
解析
5．若
tanβ
=
sinα
-
cosα
sinα
+
cosα
，则（　　）
A．tan（α-β）=1 B．tan（α-β）=-1
C．tan（α+β）=1 D．tan（α+β）=-1
组卷：208引用：2难度：0.7
解析
6．正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，P为上底面A₁B₁C₁D₁的中心，M是棱AB的中点，正四棱柱的高
h
∈
[
3
，
2
2
]
，点M到平面PCD的距离的取值范围是（　　）
A．
[
3
，
32
9
]
B．
[
3
，
4
2
3
]
C．
[
3
，
2
]
D．
[
1
4
，
1
3
]
组卷：66引用：4难度：0.6
解析
7．已知总体划分为若干层，通过分层随机抽样，其中某一层抽取的样本数据为x₁，x₂，…，x_n，其平均数和方差分别为
x
，s²．记总的样本平均数为
ω
，则
n
∑
i
=
1
（
x
i
-
ω
）
2
=（　　）
A．
s
2
+
（
x
-
ω
）
2
B．
n
s
2
+
（
x
-
ω
）
2
C．
s
2
+
n
（
x
-
ω
）
2
D．
n
s
2
+
n
（
x
-
ω
）
2
组卷：315引用：2难度：0.7
解析

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

21．已知椭圆
C
：
x
2
4
+
y
2
3
=
1
的左、右顶点分别为A，B．直线l与C相切，且与圆O：x²+y²=4交于M，N两点，M在N的左侧．
（1）若直线l的斜率
k
=
1
2
，求原点O到直线l的距离；
（2）记直线AM，BN的斜率分别为k₁，k₂，证明：k₁k₂为定值．
组卷：96引用：2难度：0.5
解析
22．已知函数f（x）=
1
2
a
x
2
+
x
-
（
a
+
x
）
lnx
（
a
≠
0
）
，记f（x）的导函数为g（x）．
（1）当a＜0时，讨论f（x）的极值点的个数；
（2）若g（x）有三个零点x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，证明：x₁+x₂+x₃＞
2
a
-1．
组卷：110引用：1难度：0.3
解析

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A．（ 1 + p ） 7 - （ 1 + 7 p ） p	B．（ 1 + p ） 7 - （ 1 + 7 p ） p 2
C．（ 1 + p ） 8 - （ 1 + p ）（ 1 + 7 p ） p	D．（ 1 + p ） 8 - （ 1 + p ）（ 1 + 7 p ） p 2

A．tan（α-β）=1	B．tan（α-β）=-1
C．tan（α+β）=1	D．tan（α+β）=-1

A． s 2 + （ x - ω ） 2	B． n s 2 + （ x - ω ） 2
C． s 2 + n （ x - ω ） 2	D． n s 2 + n （ x - ω ） 2

2023年广东省广州市天河区高考数学三模试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若集合M={0，1，2，3}，N={x|x2+x-6＜0}，则M∩N=（ ）

2．已知复数z满足|z|+z=2+4i,则z=（ ）

3．设两个单位向量a，b的夹角为θ，若a在b上的投影向量为13b，则cosθ=（ ）

5．若tanβ=sinα-cosαsinα+cosα，则（ ）

6．正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，P为上底面A1B1C1D1的中心，M是棱AB的中点，正四棱柱的高h∈[3，22]，点M到平面PCD的距离的取值范围是（ ）

7．已知总体划分为若干层，通过分层随机抽样，其中某一层抽取的样本数据为x1，x2，…，xn，其平均数和方差分别为x，s2．记总的样本平均数为ω，则n∑i=1（xi-ω）2=（ ）

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

21．已知椭圆C：x24+y23=1的左、右顶点分别为A，B．直线l与C相切，且与圆O：x2+y2=4交于M，N两点，M在N的左侧．（1）若直线l的斜率k=12，求原点O到直线l的距离；（2）记直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，证明：k1k2为定值．

22．已知函数f（x）=12ax2+x-（a+x）lnx（a≠0），记f（x）的导函数为g（x）．（1）当a＜0时，讨论f（x）的极值点的个数；（2）若g（x）有三个零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，证明：x1+x2+x3＞2a-1．

1．若集合M={0，1，2，3}，N={x|x²+x-6＜0}，则M∩N=（　　）

2．已知复数z满足|z|+z=2+4i,则z=（　　）

3．设两个单位向量
a
，
b
的夹角为θ，若
a
在
b
上的投影向量为
1
3
b
，则cosθ=（　　）

5．若
tanβ
=
sinα
-
cosα
sinα
+
cosα
，则（　　）

6．正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，P为上底面A₁B₁C₁D₁的中心，M是棱AB的中点，正四棱柱的高
h
∈
[
3
，
2
2
]
，点M到平面PCD的距离的取值范围是（　　）

7．已知总体划分为若干层，通过分层随机抽样，其中某一层抽取的样本数据为x₁，x₂，…，x_n，其平均数和方差分别为
x
，s²．记总的样本平均数为
ω
，则
n
∑
i
=
1
（
x
i
-
ω
）
2
=（　　）

22．已知函数f（x）=
1
2
a
x
2
+
x
-
（
a
+
x
）
lnx
（
a
≠
0
）
，记f（x）的导函数为g（x）．
（1）当a＜0时，讨论f（x）的极值点的个数；
（2）若g（x）有三个零点x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，证明：x₁+x₂+x₃＞
2
a
-1．