2011-2012学年湖南省长沙市南雅中学高三（上）入学模拟数学试卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

• 1．函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  sin

  （

  x

  -

  π

  4

  ）

  图象的对称轴方程可以是（　　）

  A． x = π 2

  B． x = π 4

  C． x = - π 2

  D． x = - π 4
  组卷：26引用：5难度：0.9

  解析

• 2．设实数a∈R且（a-i）•i（其中i是虚数单位）为正实数，则a的值为（　　）

  A．-1

  B．0

  C．0或-1

  D．1
  组卷：8引用：3难度：0.9

  解析

• 3．已知向量

  a

  、

  b

  满足

  |

  a

  |

  =

  6

  ，

  |

  b

  |

  =

  8

  ，且

  |

  a

  +

  b

  |

  =

  |

  a

  -

  b

  |

  ，则

  |

  a

  +

  b

  |

  =（　　）

  A．10

  B．20

  C．21

  D．30
  组卷：50引用：4难度：0.9

  解析

• 4．已知M=

  ∫

  1

  -

  1

  |

  x

  |

  dx

  ,

  N

  =

  co

  s

  2

  1

  5

  0

  -

  si

  n

  2

  1

  5

  0

  ，由如程序框图输出的S=（　　）

  A．0

  B． 1 2

  C．1

  D． 3 2
  组卷：8引用：3难度：0.9

  解析

• 5．给出下列四个命题：
  ①分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线；
  ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
  ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
  ④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
  其中为真命题的是（　　）

  A．①和②

  B．②和③

  C．③和④

  D．②和④
  组卷：67引用：17难度：0.9

  解析

• 6．若不等式

  |

  x

  +

  1

  x

  |

  ＞

  |

  a

  |

  +

  1

  对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是（　　）

  A．[-1，1]

  B．（-1，1）

  C．（-2，2）

  D．[-2，2]
  组卷：71引用：3难度：0.9

  解析

• 7．如图，已知双曲线

  x

  2

  -

  y

  2

  3

  =

  1

  ，A，C分别是虚轴的上、下顶点，B是左顶点，F为左焦点，直线AB与FC相交于点D，则∠BDF的余弦值是（　　）

  A． 7 7

  B． 5 7 7

  C． 7 14

  D． 5 7 14
  组卷：71引用：3难度：0.7

  解析

三、解答题：本大题共6小题，满分12分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

• 21．定义：若数列{A_n}满足A_n+1=

  A

  2

  n

  ，则称数列{A_n}为“平方数列”．已知数列{a_n}中，a₁=2，点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=2x²+2x的图象上，其中n为正整数．
  （1）证明：数列{2a_n+1}是“平方数列”，且数列{lg（2a_n+1）}为等比数列．
  （2）设（1）中“平方数列”的前n项之积为T_n，即T_n=（2a₁+1）（2a₂+1）…（2a_n+1），求数列{a_n}的通项及T_n关于n的表达式．
  （3）记

  b

  n

  =

  lo

  g

  2

  a

  n

  +

  1

  T

  n

  ，求数列{b_n}的前n项之和S_n，并求使S_n＞4020的n的最小值．
  组卷：239引用：6难度：0.1

  解析

• 22．已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．
  （1）求实数a的值；
  （2）若k∈Z，且

  k

  ＜

  f

  （

  x

  ）

  x

  -

  1

  对任意x＞1恒成立，求k的最大值；
  （3）当n＞m≥4时，证明（mnⁿ）^m＞（nm^m）ⁿ．
  组卷：91引用：9难度：0.1

  解析