2021-2022学年湖南省长沙市宁乡市高二（上）期末数学试卷

一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

• 1．已知

  a

  =（1，3，-1），

  b

  =（2，k,5），若

  a

  ⊥

  b

  ，则实数k的值为（　　）

  A．1

  B．-1

  C． 7 3

  D． - 7 3
  组卷：381引用：6难度：0.8

  解析

• 2．已知过点P（2，2）的直线与圆（x-1）²+y²=5相切，且与直线ax-y+1=0平行，则a=（　　）

  A．2

  B．1

  C． - 1 2

  D． 1 2
  组卷：1149引用：10难度：0.7

  解析

• 3．若直线m的斜率

  k

  ∈

  （

  -

  ∞

  ，-

  1

  ）

  ∪

  （

  1

  ，

  3

  ]

  ，则直线m的倾斜角的取值范围是（　　）

  A． （ 3 π 4 ， π ） ∪ [ π 6 ， π 4 ）	B． （ π 2 ， 3 π 4 ） ∪ （ π 4 ， π 3 ]
  C． （ π 2 ， 3 π 4 ） ∪ [ π 6 ， π 4 ）	D． （ 3 π 4 ， π ） ∪ （ π 4 ， π 3 ]
  组卷：342引用：4难度：0.8

  解析

• 4．已知a＞0，b＞0，直线l₁：x+（a-4）y+1=0，l₂：2bx+y-2=0，且l₁⊥l₂，则

  1

  a

  +

  1

  +

  1

  2

  b

  的最小值为（　　）

  A．2

  B．4

  C． 2 3

  D． 4 5
  组卷：715引用：15难度：0.7

  解析

• 5．在各项均为正数的等比数列{a_n}中，若2a₃，

  1

  2

  a

  5

  ，a₄成等差数列，则

  a

  8

  +

  a

  9

  a

  6

  +

  a

  7

  =（　　）

  A． 1 2

  B． 1 2

  C．2

  D．4
  组卷：542引用：6难度：0.7

  解析

• 6．如图，在四面体OABC中，OA，OB，OC两两垂直，已知OA=OB=2，OC=1，则直线OC与平面ABC所成角的正弦值为（　　）

  A． 6 6

  B． 3 4

  C． 3 3

  D． 6 3
  组卷：333引用：4难度：0.5

  解析

• 7．已知F是抛物线x²=y的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到x轴的距离为（　　）

  A． 3 4

  B．1

  C． 5 4

  D． 7 4
  组卷：134引用：6难度：0.7

  解析

四、解答题：（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

• 21．已知函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  x

  -

  2

  x

  2

  -

  a

  ．
  （Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调区间；
  （Ⅱ）当a＜0时，证明：f（x）存在最大值，且

  f

  （

  x

  ）

  ＜

  1

  8

  恒成立．
  组卷：63引用：2难度：0.6

  解析

• 22．已知椭圆C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （a＞b＞0）过点A（0，1），且离心率为

  3

  2

  ．
  （1）求椭圆C的方程；
  （2）过A作斜率分别为k₁，k₂的两条直线，分别交椭圆于点M，N，且k₁+k₂=2，证明：直线MN过定点．
  组卷：1337引用：9难度：0.7

  解析