人教五四新版九年级（上）中考题单元试卷：第28章 二次函数（17）

一、填空题（共1小题）

• 1．已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点D．
  （1）如图1，若该抛物线经过原点O，且a=-

  1

  3

  ．
      ①求点D的坐标及该抛物线的解析式；
      ②连接CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由；
  （2）如图2，若该抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点E（1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余．若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围．
  
  组卷：2488引用：54难度：0.3

  解析

二、解答题（共29小题）

• 2．已知抛物线y=

  1

  2

  x²+c与x轴交于A（-1，0），B两点，交y轴于点C．
  
  （1）求抛物线的解析式；
  （2）点E（m,n）是第二象限内一点，过点E作EF⊥x轴交抛物线于点F，过点F作FG⊥y轴于点G，连接CE、CF，若∠CEF=∠CFG．求n的值并直接写出m的取值范围（利用图1完成你的探究）．
  （3）如图2，点P是线段OB上一动点（不包括点O、B），PM⊥x轴交抛物线于点M，∠OBQ=∠OMP，BQ交直线PM于点Q，设点P的横坐标为t,求△PBQ的周长．
  组卷：3834引用：56难度：0.5

  解析

• 3．已知关于x的一元二次方程x²+2x+

  k

  -

  1

  2

  =0有两个不相等的实数根，k为正整数．
  （1）求k的值；
  （2）当此方程有一根为零时，直线y=x+2与关于x的二次函数y=x²+2x+

  k

  -

  1

  2

  的图象交于A、B两点，若M是线段AB上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，交二次函数的图象于点N，求线段MN的最大值及此时点M的坐标；
  （3）将（2）中的二次函数图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴上方的部分组成一个“W”形状的新图象，若直线y=

  1

  2

  x+b与该新图象恰好有三个公共点，求b的值．
  组卷：2302引用：56难度：0.5

  解析

• 4．如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，顶点M关于x轴的对称点是M′．
  （1）求抛物线的解析式；
  （2）若直线AM′与此抛物线的另一个交点为C，求△CAB的面积；
  （3）是否存在过A，B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
  组卷：3083引用：56难度：0.5

  解析

• 5．如图，已知抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．
  （1）求该抛物线的解析式；
  （2）在（1）中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得△BCD的面积最大？若存在，求出D点坐标及△BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由．
  （3）在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
  组卷：7738引用：58难度：0.5

  解析

• 6．如图，抛物线y=x²-4x与x轴交于O，A两点，P为抛物线上一点，过点P的直线y=x+m与对称轴交于点Q．
  （1）这条抛物线的对称轴是

  ，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是

  ；
  （2）若两个三角形面积满足S_△POQ=

  1

  3

  S_△PAQ，求m的值；
  （3）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C（2，2）的直线AC与直线PQ交于点D，求：①PD+DQ的最大值；②PD•DQ的最大值．
  组卷：3349引用：53难度：0.5

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• 7．如图，已知二次函数的图象M经过A（-1，0），B（4，0），C（2，-6）三点．
  （1）求该二次函数的解析式；
  （2）点G是线段AC上的动点（点G与线段AC的端点不重合），若△ABG与△ABC相似，求点G的坐标；
  （3）设图象M的对称轴为l,点D（m,n）（-1＜m＜2）是图象M上一动点，当△ACD的面积为

  27

  8

  时，点D关于l的对称点为E，能否在图象M和l上分别找到点P、Q，使得以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
  组卷：3183引用：51难度：0.5

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• 8．如图，抛物线y=ax²+c（a≠0）与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点（点C在x轴正半轴上），△ABC为等腰直角三角形，且面积为4，现将抛物线沿BA方向平移，平移后的抛物线过点C时，与x轴的另一点为E，其顶点为F，对称轴与x轴的交点为H．
  （1）求a、c的值．
  （2）连接OF，试判断△OEF是否为等腰三角形，并说明理由．
  （3）现将一足够大的三角板的直角顶点Q放在射线AF或射线HF上，一直角边始终过点E，另一直角边与y轴相交于点P，是否存在这样的点Q，使以点P、Q、E为顶点的三角形与△POE全等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
  
  组卷：3186引用：57难度：0.5

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• 9．如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线y=

  1

  4

  x²交于A，B两点，其中点A的横坐标是-2．
  （1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标．
  （2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．
  （3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？
  组卷：7798引用：75难度：0.5

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• 10．已知抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A（m-2，0）和B（2m+1，0）（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为P，对称轴为l：x=1．
  （1）求抛物线解析式．
  （2）直线y=kx+2（k≠0）与抛物线相交于两点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）（x₁＜x₂），当|x₁-x₂|最小时，求抛物线与直线的交点M与N的坐标．
  （3）首尾顺次连接点O、B、P、C构成多边形的周长为L，若线段OB在x轴上移动，求L最小值时点O，B移动后的坐标及L的最小值．
  组卷：1521引用：50难度：0.5

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二、解答题（共29小题）

• 29．如图，抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴交于点E．
  
  （1）求直线AD的解析式；
  （2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；
  （3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形．若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标．
  组卷：5022引用：52难度：0.5

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• 30．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c经过A（-2，0），B（4，0），C（0，3）三点．
  （1）求该抛物线的解析式；
  （2）在y轴上是否存在点M，使△ACM为等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不存在，请说明理由；
  （3）若点P（t,0）为线段AB上一动点（不与A，B重合），过P作y轴的平行线，记该直线右侧与△ABC围成的图形面积为S，试确定S与t的函数关系式．
  组卷：2580引用：52难度：0.5

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