2022-2023学年江苏省南京十三中高三（上）学情调研数学试卷（四）

一、选择题。本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

• 1．已知集合A={a₁，a₂，a₃}的所有非空真子集的元素之和等于9，则a₁+a₂+a₃=（　　）

  A．1

  B．2

  C．3

  D．6
  组卷：346引用：5难度：0.8

  解析

• 2．已知a∈R，若a²-1+（a-1）i是纯虚数，则a=（　　）

  A．-1或1

  B．0

  C．-1

  D．0或1
  组卷：103引用：3难度：0.8

  解析

• 3．已知sin（α-

  π

  3

  ）+

  3

  cosα=

  1

  3

  ，则sin（2α+

  π

  6

  ）=（　　）

  A． 2 3

  B． 2 9

  C．- 1 9

  D． - 7 9
  组卷：536引用：11难度：0.7

  解析

• 4．在△ABC中，D是直线AB上的点．若2

  BD

  =

  CB

  +λ

  CA

  ，记△ACB的面积为S₁，△ACD的面积为S₂，则

  S

  1

  S

  2

  =（　　）

  A． λ 6

  B． λ 2

  C． 1 3

  D． 2 3
  组卷：620引用：2难度：0.7

  解析

• 5．已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（　　）

  A． 1 3

  B． 1 2

  C． 3 3

  D． 2 2
  组卷：4728引用：9难度：0.6

  解析

• 6．已知函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  2

  co

  s

  2

  （

  ωx

  2

  -

  π

  3

  ）

  -

  5

  （

  ω

  ＞

  0

  ）

  ，若对任意的实数t,f（x）在区间（t,t+6）上的值域均为[-5，-3]，则ω的取值范围为（　　）

  A． （ 0 ， π 3 ）

  B． （ π 6 ， + ∞ ）

  C． （ π 3 ， + ∞ ）

  D． [ π 3 ， + ∞ ）
  组卷：141引用：5难度：0.6

  解析

• 7．已知椭圆C₁：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0），抛物线C₂：y²=4x,且C₁与C₂在第一象限的交点为P，且C₁和C₂在P处的切线斜率之积为-

  1

  4

  ，则C₁的离心率为（　　）

  A． 1 2

  B． 3 2

  C． 1 4

  D． 2 2
  组卷：209引用：2难度：0.5

  解析

四、解答题。本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

• 21．已知椭圆C：

  x

  2

  4

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（0＜b＜2），直线l₁：y=x+m与C交于A，B两点，且|AB|的最大值为

  4

  6

  3

  ．
  （1）求C的方程；
  （2）当|AB|=

  4

  6

  3

  时，斜率为-2的直线l₂与C交于P，Q两点（P，Q两点在直线l₁的异侧），若四边形APBQ的面积为

  16

  6

  9

  ，求l₂的方程．
  组卷：27引用：1难度：0.5

  解析

• 22．已知函数f（x）=（x²+x+a）lnx+b.
  （1）当-1＜a＜0时，f（x）＞0，求整数b的最小值；
  （2）若

  1

  2

  ＜a＜1，且0＜b＜a,证明：f（x）只有一个零点．
  组卷：58引用：2难度：0.2

  解析