2022-2023学年北京165中学高三（上）期中数学试卷

一、选择题（每题4分，共40分）

• 1．已知集合A={x|x²-3x-4≤0}，B={x∈N|1＜x＜4}，则A∩B=（　　）

  A．{x|1＜x＜4}

  B．{x|-1≤x≤4}

  C．{1，2，3，4}

  D．{2，3}
  组卷：177引用：5难度：0.7

  解析

• 2．下列函数中既是奇函数，又在区间（0，1）上单调递减的是（　　）

  A．f（x）=-x3+2	B．f（x）= log 1 2 |x|
  C．f（x）=x3-3x	D．f（x）=sinx
  组卷：175引用：5难度：0.7

  解析

• 3．2022年6月18日，很多商场都在搞促销活动．重庆市物价局派人对5个商场某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：
  

  x	90	95	100	105	110
  y	11	10	8	6	5

  用最小二乘法求得y关于x的经验回归直线是

  ̂

  y

  =

  -

  0

  .

  32

  x

  +

  ̂

  a

  ，相关系数r=-0.9923，则下列说法正确的有（　　）

  A．变量x与y负相关且相关性较强

  B． ̂ a = 40

  C．当x=85时，y的估计值为13

  D．相应于点（105，6）的残差为-0.4
  组卷：164引用：9难度：0.8

  解析

• 4．已知向量

  a

  =（2，3），

  b

  =（-1，2），若m

  a

  +n

  b

  与

  a

  -2

  b

  共线，则

  m

  n

  等于（　　）

  A．- 1 2

  B． 1 2

  C．-2

  D．2
  组卷：1198引用：31难度：0.9

  解析

• 5．已知数列1，a₁，a₂，4成等差数列，1，b₁，b₂，b₃，4成等比数列，则

  a

  2

  -

  a

  1

  b

  2

  的值是（　　）

  A． 1 2

  B．- 1 2

  C． 1 2 或- 1 2

  D． 1 4
  组卷：514引用：10难度：0.9

  解析

• 6．设

  m

  ，

  n

  为非零向量，则“存在负数λ，使得

  m

  =λ

  n

  ”是“

  m

  •

  n

  ＜0”的（　　）

  A．充分而不必要条件	B．必要而不充分条件
  C．充分必要条件	D．既不充分也不必要条件
  组卷：575引用：49难度：0.7

  解析

• 7．在△ABC中，已知sinC=2sin（B+C）cosB，那么△ABC一定是（　　）

  A．等腰直角三角形	B．等腰三角形
  C．直角三角形	D．等边三角形
  组卷：314引用：39难度：0.9

  解析

三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤及证明过程

• 20．已知函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  lnx

  e

  x

  ．
  （1）求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
  （2）判断函数f（x）在区间（0，1）上的单调性，并说明理由；
  （3）求证：

  f

  （

  x

  ）

  ＜

  1

  2

  ．
  组卷：425引用：3难度：0.3

  解析

• 21．对于正整数n,如果k（k∈N^*）个整数a₁，a₂，…，a_k满足1≤a₁≤a₂≤…≤a_k≤n,且a₁+a₂+…+a_k=n,则称数组（a₁，a₂，…，a_k）为n的一个“正整数分拆”．记a₁，a₂，…，a_k均为偶数的“正整数分拆”的个数为f_n；a₁，a₂，…，a_k均为奇数的“正整数分拆”的个数为g_n．
  （Ⅰ）写出整数4的所有“正整数分拆”；
  （Ⅱ）对于给定的整数n（n≥4），设（a₁，a₂，…，a_k）是n的一个“正整数分拆”，且a₁=2，求k的最大值；
  （Ⅲ）对所有的正整数n,证明：f_n≤g_n；并求出使得等号成立的n的值．
  （注：对于n的两个“正整数分拆”（a₁，a₂，…，a_k）与（b₁，b₂，…，b_n），当且仅当k=m且a₁=b₁，a₂=b₂，…，a_k=b_m时，称这两个“正整数分拆”是相同的．）
  组卷：341引用：8难度：0.2

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