2021-2022学年广东省广州市五校（省实，广雅，执信，二中，六中）高一（下）期末数学试卷

一、单选题

• 1．已知i是虚数单位，复数z=

  i

  1

  +

  i

  ，则z是（　　）

  A． 1 2 + i 2

  B． 1 2 - i 2

  C．- 1 2 + i 2

  D．- 1 2 - i 2
  组卷：101引用：3难度：0.8

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• 2．已知直线l⊄平面α，直线m⊂平面α，则（　　）

  A．若l与m垂直，则l与α一定垂直

  B．若l与m所成的角为30°，则l与α所成的角也为30°

  C．l∥m是l∥α的充分不必要条件

  D．若l与α相交，则l为m一定是异面直线
  组卷：295引用：3难度：0.7

  解析

• 3．集合A={1，2}，B={3，4，5}，从A，B中各取一个数，则这两数之和等于5的概率是（　　）

  A． 2 3

  B． 1 2

  C． 1 6

  D． 1 3
  组卷：239引用：5难度：0.7

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• 4．五月初，受疫情影响线下课暂停，某校组织学生居家通过三种方式自主学习，每种学习方式人数分布如图1所示，解封后为了解学生对这三种学习方式的满意程度，利用分层抽样的方法抽取4%的同学进行满意率调查，得到的数据如图2所示．则下列说法中不正确的是（　　）
  

  A．样本容量为240

  B．若m=50，则本次自主学习学生的满意度不低于四成

  C．总体中对方式二满意的学生约为300人

  D．样本中对方式一满意的学生为24人
  组卷：246引用：3难度：0.8

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• 5．△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a,b,c.设向量

  p

  =（a+c,b），

  q

  =（b-a,c-a），若向量

  p

  ∥

  q

  ，则角C的大小是（　　）

  A． π 6

  B． π 3

  C． π 2

  D． 2 π 3
  组卷：829引用：60难度：0.9

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• 6．已知三棱锥P-ABC，其中PA⊥平面ABC，∠BAC=120°，PA=AB=AC=2，则该三棱锥外接球的表面积为（　　）

  A．12π

  B．16π

  C．20π

  D．24π
  组卷：705引用：4难度：0.6

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• 7．在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于点G，则

  AG

  =（　　）

  A． 2 5 AB - 4 5 BC

  B． 2 5 AB + 4 5 BC

  C． - 2 5 AB + 4 5 BC

  D． - 2 5 AB - BC
  组卷：354引用：2难度：0.6

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四、解答题

• 21．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A₁A=4，A₁在底面ABC的射影为BC的中点，D是B₁C₁的中点．
  （1）证明：A₁D⊥平面A₁BC；
  （2）求二面角A₁-BD-B₁的平面角的余弦值．
  组卷：4442引用：17难度：0.3

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• 22．如图：某公园改建一个三角形池塘，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米，现准备养一批观赏鱼供游客观赏．
  
  （1）若在△ABC内部取一点P，建造APC连廊供游客观赏，如图①，使得点P是等腰三角形PBC的顶点，且∠CPB=

  2

  π

  3

  ，求连廊AP+PC+PB的长（单位为百米）；
  （2）若分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，并连建造连廊，使得△DEF变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏，如图②，使得△DEF为正三角形，或者如图③，使得DE平行AB，且EF垂直DE，则两种方案的△DEF的面积分别设为S₂，S₃．求S₂的最小值，S₃的取值范围．
  组卷：125引用：1难度：0.6

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