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2012年四川省成都市树德中学自主招生考试数学试卷

发布：2024/4/20 14:35:0

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的四个选项中有且只有一个是正确的．

1．2x³+x²-13x+6的因式是（　　）
A．2x-1 B．x+2 C．x-3 D．x²+1
组卷：871引用：4难度：0.9
解析
2．计算1+2-3-4+5+6-7-8+…+2009+2010-2011-2012=（　　）
A．0 B．-1 C．2012 D．-2012
组卷：587引用：5难度：0.9
解析
3．简化
1
+
1
n
2
+
1
（
n
+
1
）
2
，所得结果正确的是（　　）
A．
1
+
1
n
2
+
1
（
n
+
1
）
2
=1+
1
n
+
1
n
+
1
B．
1
+
1
n
2
+
1
（
n
+
1
）
2
=1-
1
n
+
1
n
+
1
C．
1
+
1
n
2
+
1
（
n
+
1
）
2
=1+
1
n
-
1
n
+
1
D．
1
+
1
n
2
+
1
（
n
+
1
）
2
=1-
1
n
-
1
n
+
1
组卷：163引用：1难度：0.9
解析
4．设b＜a＜0，
a
2
+
b
2
=
5
2
ab
，则
a
+
b
a
-
b
等于（　　）
A．
1
3
B．-
1
3
C．-3 D．3
组卷：458引用：3难度：0.7
解析
5．如图，AD是圆内接△ABC的边BC上的高，AE是圆的直径，AB=
2
，AC=1，则AE•AD=（　　）
A．
2
B．
3
C．2 D．
2
2
3
组卷：206引用：1难度：0.9
解析
6．关于x的方程：k（k+1）（k-2）x²-2（k+1）（k+2）x+k+2=0只有一个实数解（两个相同的也只算一个），则实数k可取不同值的个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
组卷：162引用：1难度：0.9
解析
7．a、b都是自然数，且123456789=（11111+a）（11111-b），则（　　）
A．a-b是奇数
B．a-b是4的倍数
C．a-b是2的倍数，但不一定是4的倍数
D．a-b是2的倍数，但不是4的倍数
组卷：267引用：2难度：0.9
解析

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三、解答题：本大题共7小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

22．如图，⊙A和⊙B是外离两圆，⊙A的半径长为2，⊙B的半径长为1，AB=4，P为连接两圆圆心的线段AB上的一点，PC切⊙A于点C，PD切⊙B于点D．
（1）若PC=PD，求PB的长．
（2）试问线段AB上是否存在一点P，使PC²+PD²=4？如果存在，问这样的P点有几个并求出PB的值；如果不存在，说明理由．
（3）当点P在线段AB上运动到某处，使PC⊥PD时，就有△APC∽△PBD．请问：除上述情况外，当点P在线段AB上运动到何处（说明PB的长为多少；或PC、PD具有何种关系）时，这两个三角形仍相似；并判断此时直线CP与⊙B的位置关系，证明你的结论．
组卷：226引用：8难度：0.1
解析
23．通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用y表示学生掌握和接受概念的能力，x表示提出概念和讲授概念的时间（单位：分），可有以下的关系式：y=
-
0
.
1
x
2
+
2
.
6
x
+
43
，
（
0
＜
x
≤
10
）
59
，
（
10
＜
x
≤
16
）
-
3
x
+
107
，
（
16
＜
x
≤
30
）

（1）开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？
（2）一个数学难题，需要55（或以上）的接受能力，上课开始30分钟内，求能达到该接受能力要求的时间共有多少分钟？
（3）如果每隔5分钟测量一次学生的接受能力，填写下表：

x 5 10 15 20 25 30

y

再计算六个y值得平均值M，它能高于45吗？
组卷：65引用：1难度：0.5
解析