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2023-2024学年湖南省长沙市天心区长郡中学高二（上）入学数学试卷（暑假检测）

发布：2024/7/15 8:0:9

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设
M
=
{
x
|
x
=
k
2
，
k
∈
Z
}
，
N
=
{
x
|
x
=
k
+
1
2
，
k
∈
Z
}
，则（　　）
A．M⫋N B．N⫋M C．M=N D．M∩N=∅
组卷：438引用：5难度：0.9
解析
2．用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性，“第二次被抽到”的可能性分别是（　　）
A．
1
10
，
1
10
B．
3
10
，
1
5
C．
1
5
，
3
10
D．
3
10
，
3
10
组卷：1060引用：17难度：0.9
解析
3．设a=log₈27，b=log_0.50.2，c=log₄24，则（　　）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a
组卷：160引用：7难度：0.8
解析
4．在△ABC中，“A＞B”是“cos2A＜cos2B”的（　　）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件
组卷：192引用：5难度：0.5
解析
5．已知f（x）=x,g（x）=x²-2x,F（x）=
g
（
x
）
，
f
（
x
）
≥
g
（
x
）
f
（
x
）
，
f
（
x
）
＜
g
（
x
）
则F（x）的最值情况是（　　）
A．最大值为3，最小值为-1
B．最小值为-1，无最大值
C．最大值为3，无最小值
D．既无最大值，也无最小值
组卷：191引用：3难度：0.7
解析
6．若
tanα
=
2
tan
π
7
，则
sin
（
α
-
π
7
）
cos
（
α
-
5
π
14
）
=（　　）
A．
-
1
3
B．
1
3
C．-3 D．3
组卷：70引用：2难度：0.7
解析
7．若正实数x,y满足x+y+xy=8，则下列结论不正确的是（　　）
A．x+y的最小值为4 B．xy的最大值为4
C．x+2y的最小值为
6
2
-
3
D．x²+y²的最大值为8
组卷：819引用：6难度：0.5
解析

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四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21．如图，在三棱台ABC-A₁B₁C₁中，若A₁A⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC=AA₁=2，A₁C₁=1，N为AB中点，M为棱BC上一动点（不包含端点）．
（1）若M为BC的中点，求证：A₁N∥平面C₁MA；
（2）是否存在点M，使得平面C₁MA与平面ACC₁A₁所成角的余弦值为
6
6
？若存在，求出BM长度；若不存在，请说明理由．
组卷：546引用：12难度：0.5
解析
22．若函数y=f（x）满足在定义域内的某个集合A上，对任意x∈A，都有e^x[f（x）-e^x]是一个常数a,则称f（x）在A上具有M性质．
（1）设y=f（x）是R上具有M性质的奇函数，求f（x）的解析式；
（2）设y=g（x）是在区间[-2，2]上具有M性质的函数，且对于任意x₁，x₂∈[-2，2]，都有（|g（x₁）|-|g（x₂）|）（x₁-x₂）＞0成立，求a的取值范围．
组卷：25引用：2难度：0.5
解析