2010年新课标九年级数学竞赛培训第11讲：双曲线

一、填空题（共8小题，每小题5分，满分40分）

• 1．已知反比例函数

  y

  =

  k

  x

  的图象与直线y=2x和y=x+1过同一点，则当x＞0时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而

   

  （填增大或减小）．
  组卷：59引用：3难度：0.7

  解析

• 2．若一次函数y=kx+b的图象如图所示，则抛物线y=x²+kx+b的对称轴位于y轴的

   

  侧；反比例函数

  y

  =

  kb

  x

  的图象在第

   

  象限，在每一个象限内，y随x的增大而

   

  ．
  组卷：83引用：1难度：0.7

  解析

• 3．反比例函数

  y

  =

  k

  x

  的图象经过点P（a,b），其中a、b是一元二次方程x²+kx+4=0的两根，那么点P的坐标是

  ．
  组卷：276引用：20难度：0.7

  解析

• 4．如图：函数y=-kx（k≠0）与y=-

  4

  x

  的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直于y轴，垂足为点C，则△BOC的面积为

  ．
  组卷：906引用：49难度：0.6

  解析

• 5．已知点P（n,2n）是第一象限的点，下面四个命题：
  ①点P关于y轴对称的点P₁的坐标是（n,-2n）
  ②点P到原点O的距离是

  5

  n

  
  ③直线y=-nx+2n不经过第三象限
  ④对于函数

  y

  =

  n

  x

  ，当x＜0时，y随x的增大而减小
  其中命题不正确的是

   

  （填上所有命题的序号如①②等）．
  组卷：147引用：4难度：0.5

  解析

• 6．反比例函数y=

  k

  x

  的图象上有一点P（m,n），其坐标是关于t的一元二次方程t²-3t+k=0的两根，且点P到原点的距离为

  13

  ，则该反比例函数的关系式为

   

  ．
  组卷：555引用：8难度：0.5

  解析

• 7．如图，正比例函数y=3x的图象与反比例函数

  y

  =

  k

  x

  （k＞0）的图象交于点A，若k取1，2，3…20，对应的Rt△AOB的面积分别为S₁，S₂，…，S₂₀，则S₁+S₂+…+S₂₀=

   

  ．
  组卷：237引用：2难度：0.7

  解析

三、解答题（共9小题，满分90分）

• 21．如图，直线经过A（1，0），B（0，1）两点，点P是双曲线

  y

  =

  1

  2

  x

  （x＞0）上任意一点，PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M，N．PM与直线AB交于点E，PN的延长线与直线AB交于点F．
  （1）求证：AF•BE=1；
  （2）若平行于AB的直线与双曲线只有一个公共点，求公共点的坐标．
  组卷：226引用：1难度：0.5

  解析

• 22．已知矩形ABCD的面积为36，以此矩形的对称轴为坐标轴建立平面直角坐标系，设点A的坐标为（x,y），其中x＞0，y＞0．
  （1）求出y与x之间的函数关系式，求出自变量x的取值范围；
  （2）用x、y表示矩形ABCD的外接圆的面积S，并用下列方法，解答后面的问题：
  方法：∵

  a

  2

  +

  k

  2

  a

  2

  =

  （

  a

  -

  k

  a

  ）

  2

  +

  2

  k

  （k为常数且k＞0，a≠0），
  ∵

  （

  a

  -

  k

  a

  ）

  2

  ≥

  0

  
  ∴

  a

  2

  +

  k

  2

  a

  2

  ≥

  2

  k

  
  ∴当

  a

  -

  k

  a

  =0，即

  a

  =±

  k

  时，

  a

  2

  +

  k

  2

  a

  2

  取得最小值2k.
  问题：当点A在何位置时，矩形ABCD的外接圆面积S最小并求出S的最小值；
  （3）如果直线y=mx+2（m＜0）与x轴交于点P，与y轴交于点Q，那么是否存在这样的实数m,使得点P、Q与（2）中求出的点A构成APQ的面积是矩形ABCD面积的

  1

  6

  ？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
  组卷：435引用：4难度：0.1

  解析