2021-2022学年湖南省长沙市雅礼中学高三（上）入学数学试卷

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

• 1．已知集合M={x|lg（x-1）≤0}，N={x||x|＜2}．则M∪N=（　　）

  A．∅

  B．（1，2）

  C．（-2，2]

  D．{-1，0，1，2}
  组卷：121引用：2难度：0.8

  解析

• 2．已知复数z满足z（1-i）=（2+i）i,则|z|=（　　）

  A．1

  B．2

  C． 5 2

  D． 10 2
  组卷：82引用：3难度：0.8

  解析

• 3．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为B₁D₁的中点，则直线PB与AD₁所成的角为（　　）

  A． π 2

  B． π 3

  C． π 4

  D． π 6
  组卷：5114引用：39难度：0.7

  解析

• 4．把函数y=f（x）图像上所有点的横坐标缩短到原来的

  1

  2

  倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移

  π

  3

  个单位长度，得到函数y=sin（x-

  π

  4

  ）的图像，则f（x）=（　　）

  A．sin（ x 2 - 7 π 12 ）	B．sin（ x 2 + π 12 ）
  C．sin（2x- 7 π 12 ）	D．sin（2x+ π 12 ）
  组卷：8594引用：39难度：0.8

  解析

• 5．已知F₁，F₂是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F₁PF₂=60°，|PF₁|=3|PF₂|，则C的离心率为（　　）

  A． 7

  B． 13

  C． 7 2

  D． 13 2
  组卷：3418引用：42难度：0.7

  解析

• 6．若

  cos

  （

  α

  -

  π

  4

  ）

  =

  3

  5

  ，则sin2α=（　　）

  A． 24 25

  B． - 7 25

  C． - 24 25

  D． 7 25
  组卷：747引用：16难度：0.9

  解析

• 7．数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求．现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（　　）

  A．60种

  B．78种

  C．84种

  D．144种
  组卷：1188引用：21难度：0.6

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

• 21．已知椭圆C：

  y

  2

  a

  2

  +

  x

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的焦距与椭圆

  x

  2

  3

  +

  y

  2

  =

  1

  的焦距相等，且C经过抛物线

  y

  =

  （

  x

  -

  1

  ）

  2

  +

  2

  的顶点．
  （1）求C的方程；
  （2）若直线y=kx+m与C相交于A，B两点，且A，B关于直线l：x+ty+1=0对称，O为C的对称中心，且△AOB的面积为

  10

  3

  ，求k的值．
  组卷：45引用：4难度：0.5

  解析

• 22．已知函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  xlnx

  -

  1

  2

  x

  3

  +

  a

  ,

  g

  （

  x

  ）

  =

  x

  e

  1

  -

  x

  +

  2

  a

  -

  1

  2

  x

  3

  -

  x

  （

  a

  ∈

  R

  ，

  e

  为自然对数的底数）．
  （1）若函数f（x）在（

  1

  e

  ，1）上有零点，求实数a的取值范围；
  （2）当x≥1时，不等式f（x）≤g（x）恒成立，求实数a的取值范围．
  组卷：142引用：3难度：0.4

  解析