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2023-2024学年江苏省常熟市高二（上）期中数学试卷

发布：2024/10/17 1:0:1

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，若a₂+a₅+a₈=18，则S₉=（　　）
A．36 B．45 C．54 D．63
组卷：415引用：8难度：0.7
解析
2．圆x²+y²-2x=0的圆心到直线2x+y-1=0的距离为（　　）
A．0 B．1 C．
3
3
D．
5
5
组卷：82引用：1难度：0.9
解析
3．数列{a_n}中，
a
n
=
1
n
+
n
+
1
，S_n=8，则n=（　　）
A．77 B．78 C．79 D．80
组卷：155引用：2难度：0.6
解析
4．直线l₁：ax+3y+a²-5=0，l₂：x+（a-2）y+4=0，若两条直线平行，则实数a=（　　）
A．-1 B．1 C．3 D．-1或3
组卷：42引用：6难度：0.8
解析
5．若直线l：kx-y-1=0与曲线
C
：
1
-
（
y
-
1
）
2
=
x
-
1
有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（　　）
A．
（
3
4
，
1
]
B．
（
3
4
，
3
）
C．
[
-
1
，-
3
4
]
∪
（
3
4
，
1
]
D．
（
3
4
，
+
∞
）
组卷：93引用：3难度：0.5
解析
6．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点为A（0，0），B（5，0），C（2，4），则该三角形的欧拉线方程为（　　）
A．x+2y-5=0 B．x-2y-5=0 C．2x+y-10=0 D．2x-y-10=0
组卷：732引用：10难度：0.5
解析
7．已知a₁=1，a₂=1，a_n=a_n-1+2a_n-2+1（n≥3，n∈N^*），S_n为其前n项和，则S₆₀=（　　）
A．2³⁰-31 B．4³⁰-31 C．2³⁰-30 D．4³⁰-30
组卷：112引用：5难度：0.5
解析

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四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

21．已知数列{a_n}的前n项和记为A_n，且
A
n
=
n
（
a
1
+
a
n
）
2
，数列{b_n}是公比为q的等比数列，它的前n项和记为B_n．若a₁=b₁≠0，且存在不小于3的正整数m,k,使得a_k=b_m．
（1）若a₁=1，a₃=5，求a₂的值；
（2）求证：数列{a_n}是等差数列；
（3）若q=2，是否存在正整数m,k,使得A_k=65B_m？若存在，求出m,k的值；若不存在，请说明理由．
组卷：62引用：2难度：0.3
解析
22．已知线段AB的端点B的坐标是（6，4），端点A的运动轨迹是曲线C，线段AB的中点M的轨迹方程是（x-4）²+（y-2）²=1．
（1）求曲线C的方程；
（2）已知斜率为k的直线l与曲线C相交于两点E，F（异于原点O）直线OE，OF的斜率分别为k₁，k₂，且k₁k₂=5，
①证明：直线l过定点P，并求出点P的坐标；
②若BD⊥EF，D为垂足，证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
组卷：195引用：4难度：0.5
解析