2023-2024学年黑龙江省哈尔滨六中高三（上）期中数学试卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

• 1．复数

  z

  =

  1

  3

  +

  4

  i

  的虚部是（　　）

  A． - 3 25

  B． - 3 25 i

  C． - 4 25

  D． - 4 25 i
  组卷：56引用：3难度：0.8

  解析

• 2．若a∈R，则“a=2”是复数“z=a²-4+（a+2）i”为纯虚数的（　　）

  A．充分不必要条件	B．必要不充分条件
  C．充要条件	D．既不充分也不必要条件
  组卷：110引用：9难度：0.8

  解析

• 3．已知集合A={x|y=log₂（x-2）}，B={x|2^x-2≥0}，则（∁_RA）∩B=（　　）

  A．{0，1}

  B．[1，2）

  C．{1，2}

  D．[1，2]
  组卷：250引用：9难度：0.9

  解析

• 4．若log₂a=0.3，0.3^b=2，c=0.3²，则实数a,b,c之间的大小关系为（　　）

  A．a＞b＞c

  B．a＞c＞b

  C．c＞a＞b

  D．b＞a＞c
  组卷：288引用：6难度：0.8

  解析

• 5．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，公差为2，且a₁、a₆、a₅成等比数列，则S₁₀=（　　）

  A． 10 3

  B．5

  C． 20 3

  D．20
  组卷：266引用：3难度：0.7

  解析

• 6．已知sinα+cos（π-α）=

  1

  3

  ，则sin2α的值为（　　）

  A． 8 9

  B． 1 9

  C． - 8 9

  D． 4 9
  组卷：139引用：4难度：0.9

  解析

• 7．在△ABC中，点D是线段AC上一点，点P是线段BD上一点，且

  CD

  =

  DA

  ，

  AP

  =λ

  AB

  +

  1

  6

  AC

  ，则λ=（　　）

  A． 1 6

  B． 1 3

  C． 2 3

  D． 5 6
  组卷：526引用：5难度：0.8

  解析

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

• 21．已知数列{a_n}的前n项和为S_n满足：S_n=

  3

  2

  a_n+n-3．
  （Ⅰ）求证：数列{a_n-1}是等比数列；
  （Ⅱ）令c_n=log₃（a₁-1）+log₃（a₂-1）+…+log₃（a_n-1），对任意n∈N^*，是否存在正整数m,使

  1

  c

  1

  +

  1

  c

  2

  +…+

  1

  c

  n

  ≥

  m

  3

  都成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
  组卷：186引用：10难度：0.1

  解析

• 22．已知函数f（x）=x-

  1

  x

  -alnx.
  （1）若函数f（x）在x=2处取得极值，求实数a的值，并求函数f（x）的极值；
  （2）①若当x≥1时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；
  ②证明：当n∈N₊时，ln²2+ln²

  3

  2

  +…+ln²

  n

  +

  1

  n

  ＜

  n

  n

  +

  1

  ．
  组卷：121引用：2难度：0.2

  解析