2023-2024学年海南省海口市海南中学高二（上）期中数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

• 1．已知

  ⊙

  C

  ：

  x

  2

  +

  y

  2

  +

  x

  -

  2

  y

  +

  1

  2

  =

  0

  ，则该圆的圆心坐标和半径分别为（　　）

  A． （ - 1 2 ， 1 ） ， 3 2

  B． （ - 1 ， 2 ） ， 3

  C． （ 1 2 ，- 1 ） ， 3

  D． （ 1 ，- 2 ） ， 3 2
  组卷：442引用：8难度：0.5

  解析

• 2．双曲线

  x

  2

  3

  -

  y

  2

  9

  =

  1

  的两条渐近线的夹角为（　　）

  A．30°

  B．45°

  C．60°

  D．120°
  组卷：161引用：7难度：0.7

  解析

• 3．直线4x+2y-1=0与直线ax+4y=0垂直，则a等于（　　）

  A．2

  B．-2

  C．1

  D．-1
  组卷：181引用：4难度：0.8

  解析

• 4．魏晋时期数学家刘徽（图a）为研究球体的体积公式，创造了一个独特的立体图形“牟合方盖”，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一圆柱的侧面上．如图，将两个底面半径为1的圆柱分别从纵横两个方向嵌入棱长为2的正方体时（如图b），两圆柱公共部分形成的几何体（如图c）即得一个“牟合方盖”，图d是该“牟合方盖”的直观图（图中标出的各点A，B，C，D，P，Q均在原正方体的表面上）．
  ​
  由“牟合方盖”产生的过程可知，图d中的曲线PBQD为一个椭圆，则此椭圆的离心率为（　　）

  A． 2 2

  B． 1 2

  C． 2 4

  D． 1 4
  组卷：82引用：4难度：0.6

  解析

• 5．已知直线2x+y-3=0与直线4x-my-3=0平行，则它们之间的距离是（　　）

  A． 3 5 5

  B． 5 10

  C． 3 5 10

  D． 5 5
  组卷：386引用：12难度：0.8

  解析

• 6．过点P（-1，1）的直线l与连接A（3，3），B（-2，6）的线段总有公共点（不包含端点），则直线l的斜率的取值范围是（　　）

  A． （ - 5 ， 1 2 ）	B． （ - ∞ ，- 5 ） ∪ （ 1 2 ， + ∞ ）
  C． （ - 1 5 ， 2 ）	D． （ - ∞ ，- 1 5 ） ∪ （ 2 ， + ∞ ）
  组卷：86引用：4难度：0.7

  解析

• 7．设直线l：x-

  3

  y-m=0上存在点P到点A（3，0），O（0，0）的距离之比为2．则实数m的取值范围为（　　）

  A．[-2，2]

  B． [ - 4 ， 4 - 3 ]

  C． [ - 5 3 3 ， 4 3 3 ]

  D．[-5，3]
  组卷：35引用：1难度：0.8

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．

• 21．如图，过点F（1，0）和点E（4，0）的两条平行线l₁和l₂分别交抛物线y²=4x于A，B和C，D（其中A，C在x轴的上方），AD交x轴于点G．
  （Ⅰ）求证：点C、点D的纵坐标乘积为定值；
  （Ⅱ）分别记△ABG和△CDG的面积为S₁和S₂，当

  S

  1

  S

  2

  =

  1

  4

  时，求直线AD的方程．
  组卷：259引用：3难度：0.6

  解析

• 22．已知椭圆Γ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的左、右焦点分别为F₁，F₂，长轴长为4，A，B是Γ上关于原点对称的两个动点，当AF₂垂直于x轴时，△ABF₂的周长为

  4

  +

  13

  ．
  （1）求Γ的方程；
  （2）已知Γ的离心率

  e

  ＜

  2

  2

  ，直线AF₂与Γ交于点M（异于点A），直线BF₂与Γ交于点N（异于点B），证明：直线MN过定点．
  组卷：146引用：4难度：0.4

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