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2021-2022学年河南省信阳实验高级中学高三（上）开学数学试卷（文科）

发布：2025/10/29 2:0:32

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．函数
f
（
x
）
=
sinx
•
ln
（
x
2
+
1
-
x
）
，x∈[-2π，2π]的图像可能是（　　）
A． B．
C． D．
组卷：243引用：2难度：0.6
2．已知在直角坐标系xOy中，点Q（4，0），O为坐标原点，直线l：mx+y+2
3
=0上存在点P满足
OP
•
PQ
＞0，则实数m的取值范围是（　　）
A．
m
＜
-
3
3
B．
m
＞
3
C．
m
＞
3
3
D．
m
＜
-
3
组卷：163引用：4难度：0.5
3．若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，且点E为BC的中点，AB=1，BC=2，则质点落在阴影区域内的概率是（　　）
A．
π
4
B．
1
2
C．
π
2
D．
1
4
组卷：2引用：2难度：0.8
4．抛物线y=2x²的焦点到准线的距离为（　　）
A．
1
8
B．
1
2
C．
1
4
D．4
组卷：337引用：17难度：0.7
5．1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，对它乘3再加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1．该猜想看上去很简单，但有的数学家认为“该猜想任何程度的解决都是现代数学的一大进步，将开辟全新的领域至于如此简单明了的一个命题为什么能够开辟一个全新的领域，这大概与它其中蕴含的奇偶归一思想有关．如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则①处应填写的条件及输出的结果i分别为（　　）
A．a是偶数？；6 B．a是偶数？；8 C．a是奇数？；5 D．a是奇数？；7
组卷：11引用：1难度：0.9
6．已知某圆锥的母线长、底面圆的直径都等于球的半径，则球与圆锥的表面积之比为（　　）
A．8 B．
16
3
C．
3
16
D．
1
8
组卷：44引用：2难度：0.7
7．已知集合A={x∈R|1≤x≤3}，B={x∈R|x²≥4}，则A∩（∁_RB）=（　　）
A．[-2，3] B．（2，3） C．[1，2） D．（-2，1）
组卷：15引用：1难度：0.9

8．如图，点P是棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的表面上一个动点，则以下不正确的是（　　）

A．当P在平面BCC₁B₁上运动时，四棱锥P-AA₁D₁D的体积不变

B．当P在线段AC上运动时，D₁P与A₁C₁所成角的取值范围是

[

，

]

C．使直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为

D．若F是A₁B₁的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足PF∥平面B₁CD₁时，PF长度的最小值是

组卷：164引用：4难度：0.4

9．函数f（x）=（x-1）（e^x-x-a）有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（　　）
A．（1，+∞） B．（-∞，-1）
C．（1，e-1）∪（e-1，+∞） D．（-∞，1-e）∪（1-e,+∞）
组卷：56引用：2难度：0.7
10．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”．如取整数m=6，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个“雹程”变成1．现给出冰雹猜想的一个递推关系：数列{a_n}满足a₁=10，a_n+1=
a
n
2
，
当
a
n
为偶数时
3
a
n
+
1
，
当
a
n
为奇数时
，则满足a_n=1时的“雹程”为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
组卷：40引用：1难度：0.8
11．若实数x,y满足约束条件
x
-
y
+
1
≥
0
x
+
3
y
-
3
≥
0
3
x
+
y
-
9
≤
0
，则z=x-2y的最大值是（　　）
A．-2 B．-4 C．3 D．4
组卷：44引用：2难度：0.5
12．设（1+i）x=1+yi,其中x,y是实数，则x+y的值为（　　）
A．1 B．
2
C．
3
D．2
组卷：139引用：2难度：0.8

二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共20分.

13．已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，-π≤φ≤π）的图象如图所示，则φ=
．
组卷：9引用：1难度：0.7
14．在正项等比数列{a_n}中，已知a₁=2，S₃=26，则公比q=
．
组卷：36引用：2难度：0.8
15．若定义在R上的函数f（x）为奇函数，设F（x）=af（x）-1，且F（1）=3，则F（-1）的值为
．
组卷：205引用：5难度：0.8

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.

16．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,
2
acsin
B
cos
B
+
cos
C
=
a
2
+
c
2
-
b
2
sin
B
+
sin
C
．
（1）若
A
=
3
π
7
，求C；
（2）求
3
a
-
c
b
的取值范围．
组卷：416引用：2难度：0.3
17．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=2，AB₁⊥BC₁，BC₁与B₁C相交于点M．
（1）求AA₁的长度；
（2）求点M到平面ABB₁的距离．
组卷：45引用：1难度：0.5
18．已知函数
f
（
x
）
=
x
e
x
+
a
（
x
-
1
）
2
．
（1）当a=0时，求f（x）的最大值；
（2）若f（x）存在极大值点，且极大值不大于
1
2
，求a的取值范围．
组卷：71引用：8难度：0.5
19．以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为方程为
ρ
=
2

（θ∈[0，π]），直线l的参数方程为
x
=
2
+
tcosα
y
=
2
+
tsinα
（t为参数）．
（Ⅰ）点D在曲线C上，且曲线C在点D处的切线与直线x+y+2=0垂直，求点D的直角坐标和曲线C
的参数方程；
（Ⅱ）设直线l与曲线C有两个不同的交点，求直线l的斜率的取值范围．
组卷：16引用：1难度：0.5
20．已知函数f（x）=|x-1|+2|x-2|+4|x-t|（t∈R）．
（1）若函数f（x）在（3，+∞）上单调递增，求实数t的取值范围；
（2）若t＞2，求函数f（x）的最小值．
组卷：114引用：4难度：0.5
21．在某中学举行的环保知识竞赛中，随机抽取x名参赛同学的成绩（得分的整数）进行整理后分成五组，绘制出如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别为0.30，0.15，0.10，0.05，第二小组的频数为40．
（1）求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图，画出频率分布折线图；
（2）若采用分层抽样的方法，从样本中随机取20人，则第三组和第四组各抽取多少人？
（3）在（2）的条件下，从第三组和第四组抽取的人中任选取2人，则她们不在同一组别的概率是多少？
组卷：8引用：2难度：0.5
22．已知点
A
（
0
，
2
）
，
B
（
0
，
1
2
）
，点P为曲线Γ上任意一点且满足|PA|=2|PB|．
（1）求曲线Γ的方程；
（2）设曲线Γ与y轴交于M、N两点，点R是曲线Γ上异于M、N的任意一点，直线MR、NR分别交直线l：y=3于点F、G．试问在y轴上是否存在一个定点S，使得
SF
•
SG
=
0
？
，若存在，求出点S的坐标；若不存在，请说明理由．
组卷：67引用：4难度：0.4

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A．（1，+∞）	B．（-∞，-1）
C．（1，e-1）∪（e-1，+∞）	D．（-∞，1-e）∪（1-e,+∞）

A．	B．
C．	D．

2021-2022学年河南省信阳实验高级中学高三（上）开学数学试卷（文科）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．函数f（x）=sinx•ln（x2+1-x），x∈[-2π，2π]的图像可能是（ ）

2．已知在直角坐标系xOy中，点Q（4，0），O为坐标原点，直线l：mx+y+23=0上存在点P满足OP•PQ＞0，则实数m的取值范围是（ ）

3．若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，且点E为BC的中点，AB=1，BC=2，则质点落在阴影区域内的概率是（ ）

4．抛物线y=2x2的焦点到准线的距离为（ ）

6．已知某圆锥的母线长、底面圆的直径都等于球的半径，则球与圆锥的表面积之比为（ ）

7．已知集合A={x∈R|1≤x≤3}，B={x∈R|x2≥4}，则A∩（∁RB）=（ ）

8．如图，点P是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的表面上一个动点，则以下不正确的是（ ）

9．函数f（x）=（x-1）（ex-x-a）有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）

11．若实数x,y满足约束条件x-y+1≥0x+3y-3≥03x+y-9≤0，则z=x-2y的最大值是（ ）

12．设（1+i）x=1+yi,其中x,y是实数，则x+y的值为（ ）

二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共20分.

13．已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，-π≤φ≤π）的图象如图所示，则φ=．

14．在正项等比数列{an}中，已知a1=2，S3=26，则公比q=．

15．若定义在R上的函数f（x）为奇函数，设F（x）=af（x）-1，且F（1）=3，则F（-1）的值为 ．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.

16．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,2acsinBcosB+cosC=a2+c2-b2sinB+sinC．（1）若A=3π7，求C；（2）求3a-cb的取值范围．

17．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=2，AB1⊥BC1，BC1与B1C相交于点M．（1）求AA1的长度；（2）求点M到平面ABB1的距离．

18．已知函数f（x）=xex+a（x-1）2．（1）当a=0时，求f（x）的最大值；（2）若f（x）存在极大值点，且极大值不大于12，求a的取值范围．

20．已知函数f（x）=|x-1|+2|x-2|+4|x-t|（t∈R）．（1）若函数f（x）在（3，+∞）上单调递增，求实数t的取值范围；（2）若t＞2，求函数f（x）的最小值．

1．函数
f
（
x
）
=
sinx
•
ln
（
x
2
+
1
-
x
）
，x∈[-2π，2π]的图像可能是（　　）

2．已知在直角坐标系xOy中，点Q（4，0），O为坐标原点，直线l：mx+y+2
3
=0上存在点P满足
OP
•
PQ
＞0，则实数m的取值范围是（　　）

3．若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，且点E为BC的中点，AB=1，BC=2，则质点落在阴影区域内的概率是（　　）

4．抛物线y=2x²的焦点到准线的距离为（　　）

6．已知某圆锥的母线长、底面圆的直径都等于球的半径，则球与圆锥的表面积之比为（　　）

7．已知集合A={x∈R|1≤x≤3}，B={x∈R|x²≥4}，则A∩（∁_RB）=（　　）

8．如图，点P是棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的表面上一个动点，则以下不正确的是（　　）

9．函数f（x）=（x-1）（e^x-x-a）有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（　　）

11．若实数x,y满足约束条件
x
-
y
+
1
≥
0
x
+
3
y
-
3
≥
0
3
x
+
y
-
9
≤
0
，则z=x-2y的最大值是（　　）

12．设（1+i）x=1+yi,其中x,y是实数，则x+y的值为（　　）

13．已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，-π≤φ≤π）的图象如图所示，则φ=
．

14．在正项等比数列{a_n}中，已知a₁=2，S₃=26，则公比q=
．

15．若定义在R上的函数f（x）为奇函数，设F（x）=af（x）-1，且F（1）=3，则F（-1）的值为
．

16．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,
2
acsin
B
cos
B
+
cos
C
=
a
2
+
c
2
-
b
2
sin
B
+
sin
C
．
（1）若
A
=
3
π
7
，求C；
（2）求
3
a
-
c
b
的取值范围．

17．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=2，AB₁⊥BC₁，BC₁与B₁C相交于点M．
（1）求AA₁的长度；
（2）求点M到平面ABB₁的距离．

18．已知函数
f
（
x
）
=
x
e
x
+
a
（
x
-
1
）
2
．
（1）当a=0时，求f（x）的最大值；
（2）若f（x）存在极大值点，且极大值不大于
1
2
，求a的取值范围．

20．已知函数f（x）=|x-1|+2|x-2|+4|x-t|（t∈R）．
（1）若函数f（x）在（3，+∞）上单调递增，求实数t的取值范围；
（2）若t＞2，求函数f（x）的最小值．