2022-2023学年北京师大附中高二（下）期中数学试卷

一、选择题（每小题4分，共48分，每题均只有一个正确答案）

• 1．椭圆

  x

  2

  9

  +

  y

  2

  4

  =

  1

  的长轴长为（　　）

  A．3

  B．6

  C．8

  D．9
  组卷：195引用：3难度：0.7

  解析

• 2．抛物线x²=4y的准线方程为（　　）

  A．y=-2

  B．x=-2

  C．y=-1

  D．x=-1
  组卷：193引用：5难度：0.8

  解析

• 3．函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  1

  x

  在点x=1处的导数值是（　　）

  A．1

  B．-1

  C． - 1 2

  D． 1 2
  组卷：75引用：3难度：0.8

  解析

• 4．已知双曲线

  x

  2

  a

  -

  y

  2

  =1（a＞0）的一条渐近线方程为x+2y=0，则其离心率为（　　）

  A． 5 2

  B． 17 4

  C． 3 2

  D． 15 4
  组卷：198引用：4难度：0.7

  解析

• 5．我国古代有辉煌的数学研究成果，其中《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》均有着十分丰富的内容．某中学计划将这4本专著作为高中阶段“数学文化”校本课程选修内容，要求每学年至少选一科，三学年必须将4门选完，则小南同学的不同选修方式有（　　）种．

  A．12

  B．24

  C．36

  D．72
  组卷：107引用：3难度：0.6

  解析

• 6．若

  （

  x

  -

  3

  ）

  2

  （

  x

  +

  1

  ）

  8

  =

  a

  0

  +

  a

  1

  x

  +

  a

  2

  x

  2

  +

  ⋯

  +

  a

  10

  x

  10

  ，则log₂（a₀+a₁+a₂+⋯+a₁₀）=（　　）

  A．8

  B．9

  C．10

  D．12
  组卷：91引用：2难度：0.6

  解析

• 7．（理）有5个人排成一排，其中甲与乙不相邻，而丙与丁相邻，则不同的排法种数为（　　）

  A．72

  B．48

  C．24

  D．60
  组卷：217引用：7难度：0.9

  解析

三、解答题（共5小题，共72分.解答时写出文字说明，演算步骤或证明过程）

• 22．已知函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  ax

  -

  x

  2

  e

  x

  ．
  （Ⅰ）当a=-1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
  （Ⅱ）当a＞0时，求证：

  f

  （

  x

  ）

  ＞

  -

  2

  e

  对任意x∈（0，+∞）成立．
  组卷：257引用：4难度：0.9

  解析

• 23．已知{a_n}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为A_n，第n项之后各项a_n+1，a_n+2…的最小值记为B_n，d_n=A_n-B_n．
  （Ⅰ）若{a_n}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列（即对任意n∈N^*，a_n+4=a_n），写出d₁，d₂，d₃，d₄的值；
  （Ⅱ）设d是非负整数，证明：d_n=-d（n=1，2，3…）的充分必要条件为{a_n}是公差为d的等差数列；
  （Ⅲ）证明：若a₁=2，d_n=1（n=1，2，3，…），则{a_n}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．
  组卷：784引用：9难度：0.3

  解析