2021-2022学年广东省中山市高二（下）期末数学试卷

一．选择题（共8小题）

• 1．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球时为止，所需要的取球的次数为随机变量ξ，则ξ的可能值为（　　）

  A．1，2，…，6

  B．1，2，…，7

  C．1，2，…，11

  D．1，2，3…
  组卷：271引用：7难度：0.9

  解析

• 2．某校高二（1）班甲、乙两同学进行投篮比赛，他们进球的概率分别是

  3

  4

  和

  4

  5

  ，现甲、乙各投篮一次，恰有一人投进球的概率是（　　）

  A． 1 20

  B． 3 20

  C． 1 5

  D． 7 20
  组卷：204引用：6难度：0.9

  解析

• 3．老师想要了解全班50位同学的成绩状况，为此随机抽查了10位学生某次考试的数学与物理成绩，结果列表如下：

  学生

  甲

  乙

  丙

  丁

  戊

  己

  庚

  辛

  壬

  癸

  平均

  标准差

  数学

  88

  62

  x1

  x2

  x3

  x4

  x5

  x6

  x7

  x8

  X =60

  σ（X）=94

  物理

  75

  63

  y1

  y2

  y3

  y4

  y5

  y6

  y7

  y8

  Y =65

  σ（Y）=23

  若这10位同学的成绩能反映全班的成绩状况，且全班成绩服从正态分布，用实线表示全班数学成绩分布曲线，虚线表示全班物理成绩分布曲线，则下列正确的是（　　）

  A．

  B．

  C．

  D．
  组卷：141引用：3难度：0.7

  解析

• 4．其食品研究部门为了解一种酒品的储藏年份与芳香度之间的相关关系，在市场上收集到了一部分不同年份的该酒品，并测定了其芳香度（如表）．
  

  年份x	0	1	4	5	6	8
  芳香度y	1.3	1.8	5.6		7.4	9.3

  由最小二乘法得到回归方程

  ̂

  y

  =1.03x+1.13，但不小心在检测后滴到表格上一滴检测液，污损了一个数据，请你推断该数据为（　　）

  A．6.1

  B．6.28

  C．6.5

  D．6.8
  组卷：1988引用：7难度：0.9

  解析

• 5．密位制是度量角与弧的常用制度之一，周角的

  1

  6000

  称为1密位．用密位作为角的度量单位来度量角与弧的制度称为密位制．在密位制中，采用四个数字来记角的密位，且在百位数字与十位数字之间加一条短线，单位名称可以省去，如15密位记为“00-15”，1个平角=30-00，1个周角=60-00，已知函数f（x）=

  3

  x-2cosx,x∈[

  π

  2

  ，

  3

  π

  2

  ]，当f（x）取到最大值时对应的x用密位制表示为（　　）

  A．15-00

  B．35-00

  C．40-00

  D．45-00
  组卷：58引用：2难度：0.6

  解析

• 6．已知函数

  g

  （

  x

  ）

  =

  1

  2

  x

  2

  -

  2

  alnx

  -

  2

  x

  在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为（　　）

  A．（-∞，0）

  B．[0，+∞）

  C． [ - 1 2 ， + ∞ ）

  D． （ - ∞ ，- 1 2 ]
  组卷：634引用：5难度：0.6

  解析

• 7．函数f（x）=（x²-2x）e^x的图像大致是（　　）

  A．

  B．

  C．

  D．
  组卷：372引用：30难度：0.8

  解析

四、解答题

• 21．为研究考生物理成绩与数学成绩之间的关系，从一次考试中随机抽取11名考生的成绩数据，统计如下表：
  

  数学成绩x	46	65	79	89	99	109	110	116	123	134	140
  物理成绩y	50	54	60	63	66	68	缺考	70	73	76	80

  （1）由表中数据可知，有一位考生因物理缺考导致数据出现异常，剔除该组数据后发现，考生物理成绩y与数学成绩x之间具有线性相关关系，请根据这10组数据建立y关于x的经验回归直线方程，并估计缺考考生如果参加物理考试可能取得的成绩（成绩估计结果四舍五入取整数）；
  （2）已知参加该次考试的10000名考生的物理成绩服从正态分布N（μ，σ²），用剔除异常数据后的样本平均值作为μ的估计值，用剔除异常数据后的样本标准差作为σ的估计值，估计物理成绩不低于75分的人数Y的期望．
  附：参考数据：
  

  11 ∑ i = 1 x i	11 ∑ i = 1 y i	11 ∑ i = 1 x i y i	11 ∑ i = 1 x 2 i	11 ∑ i = 1 （ y i - y ） 2	2586 8326
  1110	660	68586	120426	4770	0.31

  上表中的x_i表示样本中第i名考生的数学成绩，y_i表示样本中第i名考生的物理成绩，

  y

  =

  1

  11

  11

  ∑

  i

  =

  1

  y

  i

  ．
  参考公式：①对于一组数据：u₁，u₂，…，u_n，其方差：s²=

  1

  n

  n

  ∑

  i

  =

  1

  （

  u

  i

  -

  u

  ）

  2

  =

  1

  n

  n

  ∑

  i

  =

  1

  u

  2

  i

  -

  u

  2

  ．
  ②对于一组数据（u₁，v₁），（u₂，v₂），…，（u_n，v_n），其回归直线

  ̂

  v

  =

  ̂

  a

  +

  ̂

  b

  u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

  ̂

  b

  =

  n

  ∑

  i

  =

  1

  u

  i

  v

  i

  -

  n

  u

  v

  n

  ∑

  i

  =

  1

  u

  2

  i

  -

  n

  u

  2

  ，

  ̂

  a

  =

  v

  -

  ̂

  b

  u

  ．
  ③随机变量ξ服从N（μ，σ²），则P（μ-σ＜ξ＜μ+σ）≈0.683，P（μ-2σ＜ξ＜μ+2σ）≈0.955，P（μ-3σ＜ξ＜μ+3σ）≈0.997．
  组卷：119引用：1难度：0.6

  解析

• 22．已知函数f（x）=lnx

  -

  2

  （

  x

  -

  1

  ）

  x

  +

  1

  ．
  （1）证明：当x＞1时，f（x）＞0；
  （2）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为p,证明：

  p

  ＜

  （

  9

  10

  ）

  19

  ＜

  1

  e

  2

  ．
  组卷：103引用：1难度：0.6

  解析