2023-2024学年广东省广州市番禺区仲元中学高二（上）第一次月考数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项识符合题目要求的。

• 1．复数z=a²+a+（a²-a）i为纯虚数，则实数a的值是（　　）

  A．-1

  B．1

  C．0或-1

  D．0或1
  组卷：117引用：3难度：0.8

  解析

• 2．“lnx＞lny”是“x＞y”的（　　）

  A．充要条件	B．充分不必要条件
  C．必要不充分条件	D．既不充分也不必要条件
  组卷：95引用：7难度：0.9

  解析

• 3．下列说法中正确的个数为（　　）
  ①任意一条直线都有倾斜角，但不一定有倾斜率
  ②斜率为-2，在y轴截距为3的直线方程为y=-2x±3
  ③若

  v

  为直线l的方向向量，l⊥平面α，则

  λ

  v

  （λ∈R）是平面α的一个法向量
  ④坐标平面内过点P（x₀，y₀）的直线可以写成

  A

  （

  x

  -

  x

  0

  ）

  +

  B

  （

  y

  -

  y

  0

  ）

  =

  0

  （

  A

  2

  +

  B

  2

  ≠

  0

  ）

  A．1

  B．2

  C．3

  D．4
  组卷：21引用：1难度：0.7

  解析

• 4．若

  α

  ∈

  （

  0

  ，

  π

  2

  ）

  ，

  tan

  2

  α

  =

  sin

  （

  π

  2

  -

  α

  ）

  2

  -

  sinα

  ，则cosα的值为（　　）

  A． 15 16

  B． 1 4

  C． 3 4

  D． 15 4
  组卷：133引用：1难度：0.5

  解析

• 5．在正四面体A-PBC中，过点A作平面PBC的垂线，垂足为Q点，点M满足

  AM

  =

  3

  4

  AQ

  ，则

  PM

  =（　　）

  A． 1 4 PA - 3 4 PB + 1 4 PC	B． 1 4 PA + 1 4 PB + 1 4 PC
  C． 1 4 PA + 3 4 PB + 1 4 PC	D． 1 4 PA - 1 4 PB + 3 4 PC
  组卷：302引用：4难度：0.7

  解析

• 6．已知空间向量

  a

  =

  （

  2

  ，-

  1

  ，

  3

  ）

  ，

  b

  =

  （

  -

  1

  ，

  4

  ，-

  2

  ）

  ，

  c

  =

  （

  7

  ，

  5

  ，

  λ

  ）

  ，若

  a

  、

  b

  、

  c

  不能构成空间向量的一组基底，则实数λ=（　　）

  A． 67 7

  B． 66 5

  C． 67 5

  D． 65 7
  组卷：85引用：1难度：0.5

  解析

• 7．已知两点A（-3，4），B（3，2），过点P（1，0）的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（　　）

  A．[-1，1]	B．[1，+∞）
  C．（-∞，-1]∪[1，+∞）	D．（-∞，-1]
  组卷：113引用：4难度：0.8

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

• 21．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且有

  sin

  A

  =

  （

  a

  -

  b

  ）

  （

  sin

  A

  +

  sin

  B

  ）

  +

  csin

  C

  2

  a

  -

  b

  ，求：
  （1）C；
  （2）sin²A+sin²B的最大值．
  组卷：104引用：3难度：0.5

  解析

• 22．中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍是茅草屋顶．”现有一个刍甍如图所示，四边形ABCD为正方形，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，AB=4，EF∥AB，AB=2EF，EA=ED=FB=FC=3．
  （1）当点N为线段AD的中点时，求证：直线AD⊥平面EFN；
  （2）当点N在线段AD上时（包含端点），求平面BFN和平面ADE的夹角的余弦值的取值范围．
  组卷：156引用：12难度：0.5

  解析