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2023-2024学年湖北省名校联考高三（上）期中数学试卷

发布：2024/10/19 13:0:2

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设
z
=
-
2
+
1
i
，则
z
在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
组卷：38引用：3难度：0.8
解析
2．已知M，N均为R的子集，若存在x使得x∈M，且x∉∁_RN，则（　　）
A．M∩N≠∅ B．M⊆N C．N⊆M D．M=N
组卷：140引用：2难度：0.7
解析
3．已知向量
a
，
b
=（1，-1）满足
a
⊥
b
，（
a
-
b
）⊥
（
a
+
2
b
）
，则|
a
|=（　　）
A．
3
B．
2
C．2 D．1
组卷：61引用：1难度：0.7
解析
4．记S_n为等差数列{a_n}的前n项和，若S₄=S₅=20，则a₁=（　　）
A．-10 B．-8 C．10 D．8
组卷：361引用：1难度：0.8
解析
5．函数
f
（
x
）
=
sin
（
2
x
+
π
6
）
在区间（0，5）有（　　）
A．1个极大值点和1个极小值点
B．1个极大值点和2个极小值点
C．2个极大值点和1个极小值点
D．2个极大值点和2个极小值点
组卷：74引用：1难度：0.7
解析
6．已知椭圆C
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
的左、右顶点分别为A₁，A₂，上顶点为B，左焦点为F，线段A₁B的中点为D，直线A₂D与y轴交于点E．若
A
1
B
与
FE
共线，则C的离心率为（　　）
A．
1
3
B．
1
2
C．
2
3
D．
3
4
组卷：70引用：1难度：0.7
解析
7．在四边形ABCD中，AB=BC=2，AD=3，∠A=∠CBD=90°，将△BCD 沿BD折起，使点C到达点C′的位置，且平面C′BD⊥平面ABD．若三棱锥C′-ABD的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（　　）
A．17π B．23π C．25π D．29π
组卷：48引用：4难度：0.5
解析

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四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

21．已知双曲线C：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
的右焦点为F（2，0），过F且斜率为k（k≠0）的直线l交C于A，B两点，且当
k
=
2
时，A的横坐标为3．
（1）求C的方程；
（2）设O为坐标原点，过A且平行于x轴的直线与直线OB交于点D，P为线段AD的中点，直线OP交l于点Q，证明：|OP|•|BQ|=|PQ•BF|．
组卷：59引用：1难度：0.5
解析
22．已知a＞0，曲线C₁：y=alnx 与
C
2
：
y
=
e
x
a
投有公共点．
（1）求a的取值范围；
（2）设一条直线与C₁，C₂分别相切于点（i,j），（s,t）．证明：
（i）i+t≠j+s；
（ii）
0
＜
i
+
s
e
＜
s
i
+
j
t
．
组卷：92引用：1难度：0.1
解析

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2023-2024学年湖北省名校联考高三（上）期中数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设z=-2+1i，则z在复平面内对应的点位于（ ）

2．已知M，N均为R的子集，若存在x使得x∈M，且x∉∁RN，则（ ）

3．已知向量a，b=（1，-1）满足a⊥b，（a-b）⊥（a+2b），则|a|=（ ）

4．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S4=S5=20，则a1=（ ）

5．函数f（x）=sin（2x+π6）在区间（0，5）有（ ）

6．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，上顶点为B，左焦点为F，线段A1B的中点为D，直线A2D与y轴交于点E．若A1B与FE共线，则C的离心率为（ ）

7．在四边形ABCD中，AB=BC=2，AD=3，∠A=∠CBD=90°，将△BCD 沿BD折起，使点C到达点C′的位置，且平面C′BD⊥平面ABD．若三棱锥C′-ABD的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22．已知a＞0，曲线C1：y=alnx 与C2：y=exa投有公共点．（1）求a的取值范围；（2）设一条直线与C1，C2分别相切于点 （i,j），（s,t）．证明：（i）i+t≠j+s；（ii） 0＜i+se＜si+jt．

1．设
z
=
-
2
+
1
i
，则
z
在复平面内对应的点位于（　　）

2．已知M，N均为R的子集，若存在x使得x∈M，且x∉∁_RN，则（　　）

3．已知向量
a
，
b
=（1，-1）满足
a
⊥
b
，（
a
-
b
）⊥
（
a
+
2
b
）
，则|
a
|=（　　）

4．记S_n为等差数列{a_n}的前n项和，若S₄=S₅=20，则a₁=（　　）

5．函数
f
（
x
）
=
sin
（
2
x
+
π
6
）
在区间（0，5）有（　　）

6．已知椭圆C
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
的左、右顶点分别为A₁，A₂，上顶点为B，左焦点为F，线段A₁B的中点为D，直线A₂D与y轴交于点E．若
A
1
B
与
FE
共线，则C的离心率为（　　）

7．在四边形ABCD中，AB=BC=2，AD=3，∠A=∠CBD=90°，将△BCD 沿BD折起，使点C到达点C′的位置，且平面C′BD⊥平面ABD．若三棱锥C′-ABD的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（　　）

22．已知a＞0，曲线C₁：y=alnx 与
C
2
：
y
=
e
x
a
投有公共点．
（1）求a的取值范围；
（2）设一条直线与C₁，C₂分别相切于点（i,j），（s,t）．证明：
（i）i+t≠j+s；
（ii）
0
＜
i
+
s
e
＜
s
i
+
j
t
．