2023-2024学年江苏省南通市海安高级中学高二（上）期中数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

• 1．已知集合M，N满足M∩N≠∅，则（　　）

  A．∀x∈M，x∈N

  B．∀x∈M，x∉N

  C．∃x∈M，x∈N

  D．∃x∈M，x∉N
  组卷：72引用：6难度：0.8

  解析

• 2．复数

  1

  +

  i

  i

  3

  （i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（　　）

  A．第一象限

  B．第二象限

  C．第三象限

  D．第四象限
  组卷：65引用：7难度：0.9

  解析

• 3．设m为实数，已知直线l₁：2x+3y-2=0，l₂：mx+（2m-1）y+1=0，若l₁∥l₂，则m的值为（　　）

  A．1

  B．2

  C．3

  D．4
  组卷：167引用：2难度：0.9

  解析

• 4．“-1＜m＜3”是“方程

  x

  2

  m

  +

  1

  +

  y

  2

  7

  -

  m

  =1表示椭圆”的（　　）

  A．充分不必要条件	B．必要不充分条件
  C．充要条件	D．既不充分也不必要条件
  组卷：228引用：10难度：0.7

  解析

• 5．某校科技社利用3D打印技术制作实心模型．如图，该模型的上部分是半球，下部分是圆台．其中半球的体积为144πcm³，圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半．打印所用原料密度为1.5g/cm³，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（1.5π≈4.7）（　　）

  A．3045.6g

  B．1565.1g

  C．972.9g

  D．296.1g
  组卷：189引用：3难度：0.5

  解析

• 6．已知函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  sinxcosx

  -

  3

  co

  s

  2

  x

  +

  3

  2

  ，则下列说法正确的是（　　）

  A． f （ x ） = sin （ 2 x - π 3 ）

  B．函数f（x）的最小正周期为π

  C．函数f（x）的对称轴方程为 x = kπ + 5 π 12 （ k ∈ Z ）

  D．函数f（x）的图象可由y=sin2x的图象向右平移 π 6 个单位长度得到
  组卷：205引用：4难度：0.8

  解析

• 7．已知在各项为正的等比数列{a_n}中，a₂与a₈的等比中项为8，则4a₃+a₇取最小值时首项a₁ 等于（　　）

  A．8

  B．4

  C．2

  D．1
  组卷：97引用：6难度：0.7

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

• 21．如图，已知椭圆C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）上一点A（0，

  2

  ），右焦点为F（c,0），直线AF交椭圆于B点，且满足|AF|=2|FB|，|AB|=

  3

  3

  2

  ．
  （Ⅰ）求椭圆C的方程；
  （Ⅱ）若直线y=kx（k＞0）与椭圆相交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最大值．
  组卷：200引用：3难度：0.3

  解析

• 22．对于椭圆：

  y

  2

  a

  2

  +

  x

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  ，我们称双曲线：

  y

  2

  a

  2

  -

  x

  2

  b

  2

  =

  1

  为其伴随双曲线．已知椭圆C：

  y

  2

  3

  +

  x

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  0

  ＜

  b

  ＜

  3

  ），它的离心率是其伴随双曲线Γ离心率的

  2

  2

  倍．
  （1）求椭圆C伴随双曲线Γ的方程；
  （2）如图，点E，F分别为Γ的下顶点和上焦点，过F的直线l与Γ上支交于A，B两点，设△ABO的面积为S，∠AOB=θ（其中O为坐标原点）．若△ABE的面积为

  6

  +

  3

  3

  ，求

  S

  tanθ

  ．
  组卷：146引用：8难度：0.4

  解析