2023-2024学年上海市青浦区朱家角中学高二（上）期中数学试卷

一、填空题（4*12=48）

• 1．直线x+y-1=0的倾斜角大小是

  ．
  组卷：41引用：2难度：0.8

  解析

• 2．已知向量

  a

  =（1，2，-2），则向量

  a

  的单位向量

  a

  0

  =

  ．
  组卷：369引用：4难度：0.8

  解析

• 3．以点（1，2）为圆心，与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程是

  ．
  组卷：464引用：15难度：0.7

  解析

• 4．直线x+3y-1=0与2x-y+7=0的夹角大小为

  ．
  组卷：70引用：4难度：0.7

  解析

• 5．已知直线l₁：

  3

  x

  -

  2

  y

  +

  2

  =

  0

  ，直线l₂：

  3

  x

  -

  2

  y

  +

  1

  =

  0

  ，则l₁与l₂之间的距离为

  ．
  组卷：40引用：2难度：0.5

  解析

• 6．若向量

  a

  =（4，2，-4），

  b

  =（6，-3，2），则（2

  a

  -3

  b

  ）•（

  a

  +2

  b

  ）=

  ．
  组卷：285引用：13难度：0.7

  解析

• 7．若一个圆柱的侧面积是4π，高为1，则这个圆柱的体积是

  ．
  组卷：166引用：5难度：0.8

  解析

三、简答题（8+10+12+12+14=56）

• 20．已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=2AC=2，延长CB至D，使CB=BD．
  （1）求证：CA⊥DA₁；
  （2）求二面角B₁-AD-C的大小（结果用反三角函数值表示）．
  组卷：183引用：4难度：0.6

  解析

• 21．已知点P和非零实数λ，若两条不同的直线l₁，l₂均过点P，且斜率之积为λ，则称直线l₁，l₂是一组“P_λ共轭线对”，如直l₁：y=2x,l₂：

  y

  =

  -

  1

  2

  x

  是一组“O_-1共轭线对”，其中O是坐标原点．
  （1）已知点A（0，1）、点B（-1，0）和点C（1，0）分别是三条直线PQ，QR，RP上的点（A，B，C与P，Q，R均不重合），且直线PR，PQ是“P₁共轭线对”，直线QP，QR是“Q₄共轭线对”，直线RP，RQ是“R₉共轭线对”，求点P的坐标；
  （2）已知点

  Q

  （

  -

  1

  ，-

  2

  ）

  ，直线l₁，l₂是“Q_-2共轭线对”，当l₁的斜率变化时，求原点O到直线l₁，l₂的距离之积的取值范围．
  组卷：92引用：3难度：0.5

  解析