2017-2018学年河北省保定市定州中学承智班高一（下）开学数学试卷

一、单选题

• 1．定义：对于一个定义域为D的函数f（x），若存在两条距离为d的直线y=kx+m₁，y=kx+m₂，使得在x∈D时，恒有kx+m₁≤f（x）≤kx+m₂，则称f（x）在D上有一个宽度为d的通道．下列函数：
  ①f（x）=x²（x≥0）；          ②

  f

  （

  x

  ）

  =

  4

  -

  x

  2

  ；
  ③

  f

  （

  x

  ）

  =

  e x - 1 ， x ≤ 0

  1 - e - x ， x ＞ 0

  ；  ④

  f

  （

  x

  ）

  =

  2

  x

  （

  |

  x

  |

  ≥

  4

  ）

  ，
  其中有一个宽度为2的通道的函数的序号为（　　）

  A．①②

  B．②③

  C．②④

  D．②③④
  组卷：37引用：3难度：0.7

  解析

• 2．已知棱长为

  3

  的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线AC₁为轴，则该圆柱侧面积的最大值为（　　）

  A． 9 2 8 π

  B． 9 2 4 π

  C． 2 3 π

  D． 3 2 π
  组卷：207引用：6难度：0.7

  解析

• 3．已知f（x）是定义在[-4，4]上的奇函数，当x＞0时，f（x）=-x²+4x,则不等式f[f（x）]＜f（x）的解集为（　　）

  A．（-3，0）∪（3，4]	B．（-4，-3）∪（-1，0）∪（1，3）
  C．（-1，0）∪（1，2）∪（2，3）	D．（-4，-3）∪（1，2）∪（2，3）
  组卷：396引用：6难度：0.7

  解析

• 4．函数y=

  1

  1

  -

  x

  的图象与函数y=2sinπx,（-2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（　　）

  A．2

  B．4

  C．6

  D．8
  组卷：494引用：75难度：0.7

  解析

• 5．函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，|φ|＜

  π

  2

  ）的一部分图象如图所示，则（　　）

  A．f（x）=3sin（2x- π 6 ）+1	B．f（x）=2sin（3x+ π 3 ）+2
  C．f（x）=2sin（3x- π 6 ）+2	D．f（x）=2sin（2x+ π 6 ）+2
  组卷：729引用：6难度：0.9

  解析

• 6．若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x,则函数y=f（x）-log₃|x|的零点个数是（　　）

  A．2

  B．3

  C．4

  D．6
  组卷：360引用：70难度：0.5

  解析

三、解答题

• 17．已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（-1）=1，若x,y∈[-1，1]，x+y≠0时，有

  f

  （

  x

  ）

  +

  f

  （

  y

  ）

  x

  +

  y

  ＜

  0

  成立．
  （Ⅰ）判断f（x）在[-1，1]上的单调性，并证明；
  （Ⅱ）解不等式f（2x-1）＞f（1-3x）；
  （Ⅲ）若f（x）≤m²-2am+1对所有的a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．
  组卷：97引用：2难度：0.8

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• 18．如图，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC，该曲线段是函数

  y

  =

  A

  sin

  （

  ωx

  +

  2

  π

  3

  ）

  （A＞0，ω＞0），x∈[-4，0]时的图象，且图象的最高点为B（-1，2）．赛道的中间部分为长

  3

  千米的直线跑道CD，且CD∥EF．赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧

  ˆ

  DE

  ．
  （1）求ω的值和∠DOE的大小；
  （2）若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF上，一个顶点在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧

  ˆ

  DE

  上，且∠POE=θ，求当“矩形草坪”的面积取最大值时θ的值．
  组卷：204引用：28难度：0.7

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