2022-2023学年广东省深圳市南山区高二（上）期末数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

• 1．抛物线x²=4y的焦点坐标是（　　）

  A．（1，0）

  B．（0，1）

  C．（2，0）

  D．（0，2）
  组卷：213引用：63难度：0.9

  解析

• 2．若

  {

  a

  ，

  b

  ，

  c

  }

  构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（　　）

  A． a + c ， a ， a - c	B． a ， a + b ， 2 a + b
  C． a ， a + b ， c	D． a + b ， a + b + c ， c
  组卷：249引用：2难度：0.7

  解析

• 3．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₂=2，且S₄=10，则{a_n}的公差为（　　）

  A． 1 2

  B．1

  C． 3 2

  D．2
  组卷：316引用：3难度：0.7

  解析

• 4．已知椭圆C：

  x

  2

  3

  +

  k

  +

  y

  2

  5

  -

  k

  =

  1

  的焦点在y轴上，则实数k的取值范围为（　　）

  A．（-3，1）

  B．（1，5）

  C．（-3，5）

  D．（1，3）
  组卷：1527引用：3难度：0.8

  解析

• 5．已知A（2，-3），B（2，1），若直线l经过点P（0，-1），且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（　　）

  A．（-∞，-2]∪[2，+∞）	B．[-2，2]
  C．（-∞，-1]∪[1，+∞）	D．[-1，1]
  组卷：859引用：7难度：0.7

  解析

• 6．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AC=BC，且AC⊥BC，已知E为BC的中点，则异面直线A₁C与C₁E所成角的余弦值为（　　）

  A． 15 5

  B． 10 5

  C． 3 10 10

  D． 10 10
  组卷：211引用：1难度：0.7

  解析

• 7．已知双曲线C：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，以|F₁F₂|为直径的圆与C的左支交于M，N两点，若

  ∠

  M

  F

  1

  N

  =

  2

  π

  3

  ，则C的离心率为（　　）

  A． 3 + 1 2

  B． 3

  C． 3 + 1

  D． 2 3
  组卷：298引用：3难度：0.7

  解析

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

• 21．在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为正方形，侧面ADD₁A₁为菱形，且平面ADD₁A₁⊥平面ABCD．
  （1）证明：AD₁⊥A₁C；
  （2）设点P在棱A₁B₁上运动，若∠A₁AD=

  π

  3

  ，且AB=2，记直线AD₁与平面PBC所成的角为θ，当sinθ=

  1

  4

  时，求A₁P的长度．
  组卷：125引用：1难度：0.4

  解析

• 22．已知点F为抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点，定点A（1，a）（其中常数a满足a²＜2p），动点P在C上，且|PF|+|PA|的最小值为2．
  （1）求C的方程；
  （2）过A作两条斜率分别为k₁，k₂的直线l₁，l₂，记l₁与C的交点为B，D，l₂与C的交点为E，G，且线段BD，EG的中点分别为M，N．
  （i）当a=0，且k₁k₂=-1时，求△AMN面积的最小值；
  （ii）当k₁+k₂=1时，证明：直线MN恒过定点．
  组卷：210引用：1难度：0.5

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