2022年上海市春季高考数学试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）

• 1．已知z=2+i（其中i为虚数单位），则

  z

  =

  ．
  组卷：1177引用：2难度：0.8

  解析

• 2．已知集合A={-1，2}，集合B={1，3}，则A∩B=

  ．
  组卷：1150引用：1难度：0.9

  解析

• 3．不等式

  x

  -

  1

  x

  ＜0的解集为

  ．
  组卷：703引用：1难度：0.8

  解析

• 4．若tanα=3，则tan（α+

  π

  4

  ）=

  ．
  组卷：2686引用：5难度：0.9

  解析

• 5．设函数f（x）=x³的反函数为f^-1（x），则f^-1（27）=

  ．
  组卷：822引用：1难度：0.7

  解析

• 6．在（x³+

  1

  x

  ）¹²的展开式中，则含

  1

  x

  4

  项的系数为

  ．
  组卷：2214引用：2难度：0.9

  解析

• 7．若关于x,y的方程组

  x + my = 2

  mx + 16 y = 8

  有无穷多解，则实数m的值为

  ．
  组卷：1445引用：1难度：0.8

  解析

三、简答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.

• 20．已知椭圆Γ：

  x

  2

  a

  2

  +y²=1（a＞1），A、B两点分别为Γ的左顶点、下顶点，C、D两点均在直线l：x=a上，且C在第一象限．
  （1）设F是椭圆Γ的右焦点，且∠AFB=

  π

  6

  ，求Γ的标准方程；
  （2）若C、D两点纵坐标分别为2、1，请判断直线AD与直线BC的交点是否在椭圆Γ上，并说明理由；
  （3）设直线AD、BC分别交椭圆Γ于点P、点Q，若P、Q关于原点对称，求|CD|的最小值．
  组卷：1760引用：1难度：0.5

  解析

• 21．已知函数f（x）的定义域为R，现有两种对f（x）变换的操作：φ变换：f（x）-f（x-t）；ω变换：|f（x+t）-f（x）|，其中t为大于0的常数．
  （1）设f（x）=2^x，t=1，g（x）为f（x）做φ变换后的结果，解方程：g（x）=2；
  （2）设f（x）=x²，h（x）为f（x）做ω变换后的结果，解不等式：f（x）≥h（x）；
  （3）设f（x）在（-∞，0）上单调递增，f（x）先做φ变换后得到u（x），u（x）再做ω变换后得到h₁（x）；f（x）先做ω变换后得到v（x），v（x）再做φ变换后得到h₂（x）．若h₁（x）=h₂（x）恒成立，证明：函数f（x）在R上单调递增．
  组卷：474引用：2难度：0.4

  解析