2022-2023学年上海市普陀区高三（上）期末数学试卷（一模）

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

• 1．若z=i•（1-i）（其中i表示虚数单位），则Imz=

  ．
  组卷：72引用：1难度：0.8

  解析

• 2．若正四棱柱的底面周长为4、高为2，则该正四棱柱的体积为

  ．
  组卷：88引用：2难度：0.6

  解析

• 3．设

  y

  =

  x

  1

  2

  -

  x

  3

  ，则满足y＜0的x的取值范围为

  ．
  组卷：109引用：5难度：0.7

  解析

• 4．函数y=tan2x在区间

  （

  -

  π

  4

  ，

  π

  4

  ）

  上的零点为

  ．
  组卷：82引用：1难度：0.7

  解析

• 5．函数y=1-2sin²x的最小正周期为

  ．
  组卷：117引用：2难度：0.7

  解析

• 6．在（x+1）⁴+（x+1）⁵展开式中，含有x²项的系数为

  ．
  组卷：145引用：1难度：0.8

  解析

• 7．双曲线

  x

  2

  3

  -

  y

  2

  =

  1

  的两条渐近线的夹角大小等于

  ．
  组卷：198引用：9难度：0.7

  解析

三、解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．

• 20．在xoy坐标平面内，已知椭圆Γ：

  x

  2

  9

  +

  y

  2

  5

  =1的左、右焦点分别为F₁、F₂，直线y=k₁x（k₁≠0）与Γ相交于A、B两点．
  （1）记d为A到直线2x+9=0的距离，当k₁变化时，求证：

  |

  A

  F

  1

  |

  d

  为定值；
  （2）当∠AF₂B=120°时，求|AF₂|•|BF₂|的值；
  （3）过B作BM⊥x轴，垂足为M，OM的中点为N，延长AN交Γ于另一点P，记直线PB的斜率为k₂，当k₁取何值时，|k₁-k₂|有最小值？并求出此最小值．
  
  组卷：244引用：3难度：0.2

  解析

• 21．若函数y=f（x）（x∈D）同时满足下列两个条件，则称y=f（x）在D上具有性质M．
  ①y=f（x）在D上的导数f′（x）存在；
  ②y=f′（x）在D上的导数f″（x）存在，且f″（x）＞0（其中f″（x）=[f′（x）]′）恒成立．
  （1）判断函数y=lg

  1

  x

  在区间（0，+∞）上是否具有性质M？并说明理由．
  （2）设a、b均为实常数，若奇函数g（x）=2x³+ax²+

  b

  x

  在x=1处取得极值，是否存在实数c,使得y=g（x）在区间[c,+∞）上具有性质M？若存在，求出c的取值范围；若不存在，请说明理由．
  （3）设k∈Z且k＞0，对于任意的x∈（0，+∞），不等式

  1

  +

  ln

  （

  x

  +

  1

  ）

  x

  ＞

  k

  x

  +

  1

  成立，求k的最大值．
  组卷：233引用：4难度：0.4

  解析