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2020-2021学年福建省泉州科技中学高一（下）期中数学试卷

发布：2024/10/27 9:30:2

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）

1．设向量
a
=（0，2），
b
=（2，2），则（　　）
A．|
a
|=|
b
| B．（
a
-
b
）∥
b
C．
a
与
b
的夹角为
π
3
D．（
a
-
b
）⊥
a
组卷：396引用：15难度：0.7
解析
2．若复数Z=（a²-1）+（a+1）i为纯虚数，a为实数，则
a
+
i
2007
1
+
ai
的值为（　　）
A．1 B．-1 C．i D．-i
组卷：425引用：3难度：0.9
解析
3．正四棱台的上、下底面边长分别为1cm,3cm,侧棱长为2cm,则棱台的侧面积为（　　）
A．4cm² B．8cm² C．
4
3
c
m
2
D．
8
3
c
m
2
组卷：542引用：5难度：0.8
解析
4．如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠ADC=60°，CD=AD=2，BD=4，则sinB的值为（　　）
A．
1
2
B．
7
6
C．
7
14
D．
21
14
组卷：291引用：6难度：0.7
解析
5．在矩形ABCD中，对角线AC分别与AB，AD所成的角为α，β，则sin²α+sin²β=1，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，对角线AC₁与棱AB，AD，AA₁所成的角分别为α₁，α₂，α₃，与平面AC，平面AB₁，平面AD₁所成的角分别为β₁，β₂，β₃，则下列说法正确的是（　　）

①sin²α₁+sin²α₂+sin²α₃=1
②sin²α₁+sin²α₂+sin²α₃=2
③cos²α₁+cos²α₂+cos²α₃=1
④sin²β₁+sin²β₂+sin²β₃=1
A．①③ B．②③ C．①③④ D．②③④
组卷：58引用：4难度：0.6
解析
6．我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若
AB
=
a
，

AD
=
b
，E为BF的中点，则
AE
=（　　）
A．
4
5
a
+
2
5
b
B．
2
5
a
+
4
5
b
C．
4
3
a
+
2
3
b
D．
2
3
a
+
4
3
b
组卷：1093引用：21难度：0.6
解析
7．已知三棱锥P-ABC的顶点都在球O的球面上，AB=AC=2，BC=2
2
，PB⊥平面ABC，若该三棱锥的体积是
8
3
，则球O的表面积是（　　）
A．32π B．32
2
π C．24
2
π D．24π
组卷：78引用：2难度：0.6
解析

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四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

21．某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，AB为地面，CD，CE为路灯灯杆，CD⊥AB，∠DCE=
2
π
3
，在E处安装路灯，且路灯的照明张角∠MEN=
π
3
．已知CD=4m,CE=2m.
（1）当M，D重合时，求路灯在路面的照明宽度MN；
（2）求此路灯在路面上的照明宽度MN的最小值．
组卷：256引用：14难度：0.7
解析
22．如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．
（Ⅰ）证明：G是AB的中点；
（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．
组卷：6789引用：14难度：0.5
解析