2023年上海市春季高考数学试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

• 1．已知集合A={1，2}，B={1，a}，且A=B，则a=

  ．
  组卷：1288引用：2难度：0.8

  解析

• 2．已知向量

  a

  =（3，4），

  b

  =（1，2），则

  a

  -2

  b

  =

  ．
  组卷：2112引用：3难度：0.9

  解析

• 3．不等式|x-1|≤2的解集为：

  ．（结果用集合或区间表示）
  组卷：348引用：7难度：0.7

  解析

• 4．已知圆C的一般方程为x²+2x+y²=0，则圆C的半径为

  ．
  组卷：1175引用：1难度：0.8

  解析

• 5．已知事件A的对立事件为

  A

  ，若P（A）=0.5，则P（

  A

  ）=

  ．
  组卷：715引用：1难度：0.7

  解析

• 6．已知正实数a、b满足a+4b=1，则ab的最大值为

  ．
  组卷：2165引用：4难度：0.7

  解析

• 7．某校抽取100名学生测身高，其中身高最大值为186cm,最小值为154cm,根据身高数据绘制频率组距分布直方图，组距为5，且第一组下限为153.5，则组数为

  ．
  组卷：806引用：3难度：0.7

  解析

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。

• 20．已知椭圆Γ：

  x

  2

  m

  2

  +

  y

  2

  3

  =1（m＞0且m≠

  3

  ）．
  （1）若m=2，求椭圆Γ的离心率；
  （2）设A₁、A₂为椭圆Γ的左右顶点，椭圆Γ上一点E的纵坐标为1，且

  E

  A

  1

  •

  E

  A

  2

  =-2，求实数m的值；
  （3）过椭圆Γ上一点P作斜率为

  3

  的直线l,若直线l与双曲线

  y

  2

  5

  m

  2

  -

  x

  2

  5

  =1有且仅有一个公共点，求实数m的取值范围．
  组卷：1874引用：3难度：0.5

  解析

• 21．已知函数f（x）=ax³-（a+1）x²+x,g（x）=kx+m（其中a≥0，k,m∈R），若任意x∈[0，1]均有f（x）≤g（x），则称函数y=g（x）是函数y=f（x）的“控制函数”，且对所有满足条件的函数y=g（x）在x处取得的最小值记为

  f

  （x）．
  （1）若a=2，g（x）=x,试判断函数y=g（x）是否为函数y=f（x）的“控制函数”，并说明理由；
  （2）若a=0，曲线y=f（x）在x=

  1

  4

  处的切线为直线y=h（x），证明：函数y=h（x）为函数y=f（x）的“控制函数”，并求

  f

  （

  1

  4

  ）的值；
  （3）若曲线y=f（x）在x=x₀，x₀∈（0，1）处的切线过点（1，0），且c∈[x₀，1]，证明：当且仅当c=x₀或c=1时，

  f

  （c）=f（c）．
  组卷：1061引用：1难度：0.2

  解析