2022-2023学年安徽省马鞍山二中高一（下）第一次质检数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

• 1．如图所示，在▱ABCD中，

  AB

  =

  a

  ，

  AD

  =

  b

  ，则用

  a

  ，

  b

  表示向量

  AC

  和

  BD

  分别是（　　）

  A． a + b 和 a - b

  B． a + b 和 b - a

  C． a - b 和 b - a

  D． b - a 和 b + a
  组卷：121引用：1难度：0.9

  解析

• 2．下列说法中正确的是（　　）

  A． λa 与 a 的方向不是相同就是相反

  B．若 a ， b 共线，则 b = λ a

  C．若 | b | =2 | a | ，则 b =±2 a

  D．若 b =±2 a ，则 | b | =2 | a |
  组卷：100引用：7难度：0.9

  解析

• 3．向量

  |

  a

  |

  =

  3

  ，

  |

  b

  |

  =

  2

  3

  ，向量

  a

  与

  b

  的夹角是120°，则

  a

  •

  b

  等于（　　）

  A．3

  B．-3

  C． - 3 3

  D． 3 3
  组卷：297引用：12难度：0.7

  解析

• 4．△ABC中，

  AB

  =

  a

  ，

  AC

  =

  b

  ，

  DC

  =

  3

  BD

  ，

  AE

  =

  2

  EC

  ，则

  DE

  等于（　　）

  A． - 1 3 a + 3 4 b

  B． 5 12 a - 3 4 b

  C． 3 4 a + 1 3 b

  D． - 3 4 a + 5 12 b
  组卷：114引用：5难度：0.7

  解析

• 5．如果用

  i

  ，

  j

  分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且A（2，3），B（4，2），则

  AB

  可以表示为（　　）

  A．2 i +3 j

  B．4 i +2 j

  C．2 i - j

  D．-2 i + j
  组卷：336引用：14难度：0.9

  解析

• 6．若平面向量

  a

  与

  b

  的夹角为60°，

  a

  =

  （

  2

  ，

  0

  ）

  ，

  |

  b

  |

  =

  1

  ，则

  |

  a

  +

  2

  b

  |

  等于（　　）

  A． 3

  B． 2 3

  C．4

  D．12
  组卷：1327引用：24难度：0.7

  解析

• 7．河水的流速为2m/s,一艘小船想沿垂直于河岸方向以10m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度为（　　）

  A．10 m/s

  B．2 26 m/s

  C．4 6 m/s

  D．12 m/s
  组卷：314引用：8难度：0.8

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

• 21．如图，已知A（1，1），B（5，4），C（2，5），设向量

  a

  是与向量

  AB

  垂直的单位向量．
  （1）求单位向量

  a

  的坐标；
  （2）求向量

  AC

  在向量

  a

  上的投影的数量；
  （3）求△ABC的面积S_△ABC．
  组卷：84引用：3难度：0.6

  解析

• 22．设

  f

  （

  x

  ）

  =

  sinxcosx

  -

  co

  s

  2

  （

  x

  +

  π

  4

  ）

  ，

  x

  ∈

  R

  ．
  （Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
  （Ⅱ）在锐角△ABC中，A、B、C的对边分别为a,b,c,若

  f

  （

  A

  2

  ）

  =

  0

  ，

  a

  =

  1

  ，求△ABC面积的最大值．
  组卷：74引用：3难度：0.3

  解析