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2021-2022学年上海交大附中高二（上）开学数学试卷

发布：2024/4/20 14:35:0

一、填空题

1．
8
-
6
与
7
-
5
的大小关系为
．
组卷：45引用：2难度：0.7
解析
2．已知
a
=（1，0），
b
=（2，4），则|
a
+
b
|=
．
组卷：72引用：7难度：0.7
解析
3．不等式|2x-1|-|x-2|＜0的解集为
．
组卷：210引用：23难度：0.9
解析
4．设f（x）=ax⁵+bx³+cx+7（其中a、b、c为常数，x∈R），若f（-2021）=-17，则f（2021）=
．
组卷：371引用：3难度：0.7
解析
5．设复数z=
1
-
2
i
3
+
4
i
，则z的共轭复数
z
的虚部是
．
组卷：69引用：3难度：0.8
解析
6．已知sinx=
2
3
，x∈（
π
2
，π），则角x=
（用反三角函数符号表示）．
组卷：175引用：5难度：0.7
解析
7．设a＞0，b＞0，若
3
是3^a与3^b的等比中项，则
1
a
+
1
b
的最小值是
．
组卷：559引用：70难度：0.7
解析

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三、解答题

20．定义：对于任意复数z=x+yi（x,y∈R），当y≠0时，称满足方程
cotα
=
x
y
的最小正角α为复数z对应的角，当y=0时，定义复数z对应的角为0．
（1）若复数
ω
=
-
1
2
+
3
2
i
，求ω及
ω
对应的角；
（2）复数z=x+yi（x,y∈R）满足x²=4y,求复数z+i对应的角的取值范围；
（3）若非零复数z=m+ni（m,n∈R）满足m²=4n,当x取遍任意实数时，取复数
w
=
x
+
x
2
4
i
,
z
+
w
对应的角有取大值α_max和最小值α_min，且当w=w₁时z+w对应的角取到最大值，w=w₂时z+w对应的角取到最小值．问：当m取遍任意正实数时，复平面内复数w₁+w₂对应的点是否在同一条抛物线上？如果是，请求出这条抛物线；如果不是，请说明理由．
组卷：212引用：1难度：0.3
解析
21．已知函数f（x）的定义域为[0，1]．若函数f（x）满足：对于给定的T（0＜T＜1），存在t∈[0，1-T]．使得f（t+T）=f（t）成立，那么称f（x）具有性质P（T）．
（1）函数f（x）=sin（x∈[0，1]）是否具有性质P（
1
4
）？说明理由；
（2）已知函数f（x）=
-
3
x
+
1

（
0
≤
x
≤
1
3
）
6
x
-
2

（
1
3
＜
x
＜
2
3
）
-
3
x
+
4

（
2
3
≤
x
≤
1
）
具有性质P（T），求T的最大值；
（3）已知函数f（x）的定义域为[0，1]，满足f（0）=f（1），且f（x）的图象是一条连续不断的曲线，问：是否存在正整数n,使得函数f（x）具有性质P（
1
n
），若存在，求出这样的n的取值集合；若不存在，请说明理由．
组卷：49引用：3难度：0.3
解析