2023-2024学年重庆市南开中学高二（上）月考数学试卷（9月份）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填写在答题卡相应的位置上，

• 1．直线l经过点（2，3），且倾斜角α=45°，则直线l的方程为（　　）

  A．x+y-1=0

  B．x-y+5=0

  C．x-y+1=0

  D．x-y-5=0
  组卷：304引用：10难度：0.8

  解析

• 2．两直线的斜率分别是方程x²+2023x-1=0的两根，那么这两直线的位置关系是（　　）

  A．垂直

  B．斜交

  C．平行

  D．重合
  组卷：138引用：6难度：0.8

  解析

• 3．直线ax+2y+4=0与直线x+（a-1）y+2=0平行，则a的值为（　　）

  A．a=2

  B．a=0

  C．a=-1

  D．a=-1或a=2
  组卷：581引用：14难度：0.8

  解析

• 4．已知直线过点（1，2），且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程为（　　）

  A．2x-y=0	B．2x+y-4=0
  C．2x-y=0或x+2y-2=0	D．2x-y=0或2x+y-4=0
  组卷：975引用：28难度：0.8

  解析

• 5．“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点P（x,y）是阴影部分（包括边界）的动点，则

  y

  x

  -

  2

  的最小值为（　　）

  A． - 2 3

  B． - 3 2

  C． - 4 3

  D．-1
  组卷：707引用：42难度：0.7

  解析

• 6．已知点P为直线y=x+1上的一点，M，N分别为圆C₁：（x-4）²+（y-1）²=4与圆C₂：x²+（y-2）²=1上的点，则|PM|-|PN|的最大值为（　　）

  A．4

  B．5

  C．6

  D．7
  组卷：137引用：4难度：0.7

  解析

• 7．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点A（-1，0）和B（2，1），且该平面内的点P满足

  |

  PA

  |

  =

  2

  |

  PB

  |

  ，若点P的轨迹关于直线mx+ny-2=0（m,n＞0）对称，则

  2

  m

  +

  5

  n

  的最小值是（　　）

  A．10

  B．20

  C．30

  D．40
  组卷：112引用：7难度：0.6

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将答案填写在答题卡相应的位置上.

• 21．在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在x轴上的圆C经过点A（3，0），且被y轴截得的弦长为

  2

  3

  ．经过坐标原点O的直线l与圆C交于M，N两点．
  （1）求圆C的方程；
  （2）求当满足

  OM

  +

  2

  ON

  =

  0

  时对应的直线l的方程；
  （3）若点P（-5，0），直线PM与圆C的另一个交点为R，直线PN与圆C的另一个交点为S，分别记直线l、直线RS的斜率为k₁，k₂，求证：

  k

  2

  k

  1

  为定值．
  组卷：134引用：5难度：0.4

  解析

• 22．已知在平面直角坐标系xOy中，A（0，1），B（0，4），平面内动点P满足2|PA|=|PB|．
  （1）求点P的轨迹方程；
  （2）点P轨迹记为曲线τ，若C，D是曲线τ与x轴的交点，E为直线l：x=4上的动点，直线CE，DE与曲线τ的另一个交点分别为M，N，直线MN与x轴交点为Q，求

  1

  |

  MQ

  |

  2

  +

  1

  |

  NQ

  |

  2

  的最小值．
  组卷：87引用：4难度：0.3

  解析