2022-2023学年福建省福州一中高二（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

• 1．过两直线x+y-3=0，2x-y=0的交点，且与直线x-3y-1=0垂直的直线方程为（　　）

  A．3x+y+5=0

  B．x-3y-5=0

  C．3x+y-5=0

  D．x-3y+5=0
  组卷：83引用：1难度：0.7

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• 2．已知

  a

  =

  （

  1

  ，

  1

  ，

  1

  ）

  为平面α的一个法向量，A（1，0，0）为α内的一点，则点D（1，1，2）到平面α的距离为（　　）

  A． 3

  B． 2

  C． 5 2

  D． 6 3
  组卷：231引用：11难度：0.7

  解析

• 3．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，过F作倾斜角为

  π

  3

  的直线l交抛物线C与A、B两点，若线段AB中点的纵坐标为

  3

  ，则抛物线C的方程是（　　）

  A．y2=3x

  B．y2=4x

  C．y2=6x

  D．y2=8x
  组卷：101引用：1难度：0.7

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• 4．已知数列{a_n}是等差数列，且a₆=0，a₁+a₄+a₇=6，将a₂，a₃，a₄，a₅去掉一项后，剩下三项依次为等比数列{b_n}的前三项，则b_n=（　　）

  A．22-n

  B．2n+2

  C．23-n

  D．2n+3
  组卷：101引用：3难度：0.6

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• 5．某农场为节水推行喷灌技术，喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，如图所示．现要求水流最高点B离地面4m,点B到管柱OA所在直线的距离为3m,且水流落在地面上以O为圆心，以7m为半径的圆上，则管柱OA的高度为（　　）
  

  A． 5 3 m

  B． 7 4 m

  C． 9 4 m

  D． 7 3 m
  组卷：150引用：6难度：0.5

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• 6．已知椭圆

  C

  ：

  x

  2

  9

  +

  y

  2

  =

  1

  的左、右焦点分别是F₁，F₂，P是椭圆C上一点，则△PF₁F₂的重心与椭圆C短轴顶点距离的最大值为（　　）

  A．1

  B． 4 3

  C． 2

  D． 34 4
  组卷：80引用：1难度：0.7

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• 7．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是一个圆，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长半轴长与短半轴长平方和的算术平方根，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C的离心率为

  5

  5

  ，M为其蒙日圆上一动点，过点M作椭圆C的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，若△MPQ面积的最大值为36，则椭圆C的长轴长为（　　）

  A． 2 5

  B． 4 5

  C． 2 3

  D． 4 3
  组卷：65引用：1难度：0.7

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

• 21．如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PC=

  3

  ，

  AC

  =

  BC

  =

  2

  2

  ，AC⊥BC，D为棱AB上一点，BD=3AD，PD=

  2

  ，
  （1）证明：平面PAC⊥平面ABC；
  （2）线段PD上是否存在点M，使直线AP与平面MBC所成角的正弦值为

  6

  3

  ？若存在，求出

  |

  PM

  |

  |

  PD

  |

  的值；若不存在，请说明理由．
  组卷：102引用：1难度：0.4

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• 22．已知双曲线C：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，点P（3，1）在C上，且|PF₁|•|PF₂|=10．
  （1）求C的方程；
  （2）斜率为-3的直线l与C交于A，B两点，点B关于原点的对称点为D．若直线PA，PD的斜率存在且分别为k₁，k₂，证明：k₁•k₂为定值．
  组卷：564引用：5难度：0.5

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