2023-2024学年黑龙江省哈尔滨三中高二（上）期中数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

• 1．抛物线y²=-8x的准线方程为（　　）

  A．x=-2

  B．x=-1

  C．y=1

  D．x=2
  组卷：763引用：20难度：0.9

  解析

• 2．双曲线9x²-16y²=144的焦点坐标为（　　）

  A． （ - 7 ， 0 ） ， （ 7 ， 0 ）	B． （ 0 ，- 7 ） ， （ 0 ， 7 ）
  C．（-5，0），（5，0）	D．（0，-5），（0，5）
  组卷：147引用：2难度：0.8

  解析

• 3．若点P到点F（2，0）的距离比它到直线x+3=0的距离小1，则点P的轨迹方程是（　　）

  A．y2=2x

  B．y2=4x

  C．y2=8x

  D．x2=8y
  组卷：93引用：6难度：0.7

  解析

• 4．若直线l₁：x+λy+9=0与直线l₂：（λ-2）x+3y+3λ=0平行，则λ的值为（　　）

  A．3

  B．-1

  C．3或-1

  D．2
  组卷：142引用：3难度：0.7

  解析

• 5．如图，一抛物线型拱桥的拱顶O比水面高2米，水面宽度|AB|=12米．水面下降1米后水面宽（　　）米．

  A． 3 6

  B． 8 3

  C． 6 6

  D． 12 3
  组卷：55引用：1难度：0.5

  解析

• 6．已知双曲线E：

  x

  2

  3

  -

  y

  2

  =1，直线l：y=kx+1，若直线l与双曲线E的两个交点分别在双曲线的两支上，则k的取值范围是（　　）

  A． k ＜ - 3 3 或 k ＞ 3 3	B． - 3 3 ＜ k ＜ 3 3
  C． k ＜ - 3 或 k ＞ 3	D． - 3 ＜ k ＜ 3
  组卷：126引用：5难度：0.6

  解析

• 7．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F与椭圆

  x

  2

  25

  +

  y

  2

  16

  =

  1

  的右焦点重合．斜率为k（k＞0）的直线l经过点F，且与C的交点为A，B．若|AF|=2|BF|，则直线l的斜率为（　　）

  A．1

  B． 2

  C． 2 4

  D． 2 2
  组卷：146引用：1难度：0.5

  解析

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

• 21．已知双曲线C：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  0

  ，

  b

  ＞

  0

  ）

  的焦点与椭圆

  x

  2

  2

  +

  2

  y

  2

  =1的焦点相同，且双曲线C经过点P（1，1）．
  （1）求双曲线C的标准方程；
  （2）设A，B为双曲线C上异于点P的两点，记直线PA，PB的斜率为k₁，k₂，若（k₁-1）（k₂-1）=1．求直线AB恒过的定点．
  组卷：91引用：2难度：0.5

  解析

• 22．有一个半径为4

  2

  的圆形纸片，设纸片上一定点F到纸片圆心E的距离为2

  6

  ，将纸片折叠，使圆周上一点M与点F重合，以点F，E所在的直线为x轴，线段EF的中点O为原点建立平面直角坐标系．记折痕与ME的交点Q的轨迹为曲线C．
  （1）求曲线C的方程；
  （2）P为曲线C上第一象限内的一点，过点P作圆M：（x+1）²+y²=1的两条切线，分别交y轴于D，H两点，且|DH|=

  3

  2

  ，求点P的坐标；
  （3）在（2）的条件下，直线l与曲线C交于A，B两点，且直线PA，PB的倾斜角互补，判断直线AB的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
  组卷：55引用：1难度：0.3

  解析