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2021-2022学年湖南省长沙实验中学高一（下）入学数学试卷

发布：2024/11/21 4:0:1

一、单选题（本题共8小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1．设集合A={x|-1＜x≤0}，
B
=
{
x
|
x
＞
-
1
2
}
，则A∩B=（　　）
A．（
-
1
2
，0） B．（
-
1
2
，0] C．[-1，+∞） D．（-1，+∞）
组卷：49引用：1难度：0.8
解析
2．已知命题p：“∃x∈R，x²-x+1＜0”，则￢p为（　　）
A．∃x∈R，x²-x+1≥0 B．∃x∉R，x²-x+1≥0
C．∀x∈R，x²-x+1≥0 D．∀x∈R，x²-x+1＜0
组卷：234引用：15难度：0.9
解析
3．函数f（x）=lgx+x-4的零点为x₀，x₀∈（k,k+1）（k∈Z），则k的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
组卷：82引用：2难度：0.7
解析
4．函数f（x）=log₂|x|+cosx的大致图象是（　　）
A． B． C． D．
组卷：110引用：4难度：0.8
解析
5．若
sin
（
θ
-
π
3
）
=
2
3
，则
cos
（
θ
+
π
6
）
=（　　）
A．
-
2
3
B．
2
3
C．
2
3
D．
-
2
3
组卷：487引用：2难度：0.8
解析
6．若0＜a＜1，b＞0，且a^b-a^-b=-2，则a^b+a^-b的值为（　　）
A．
2
2
B．
±
2
2
C．
-
2
2
D．
6
组卷：455引用：3难度：0.8
解析
7．若函数f（x）=cos（2x-
π
4
）-a（x∈[0，
9
π
8
]）恰有三个不同的零点x₁，x₂，x₃，则x₁+x₂+x₃的取值范围是（　　）
A．[
5
π
4
，
11
π
8
） B．[
9
π
4
，
7
π
2
） C．（
5
π
4
，
11
π
8
] D．（
9
π
4
，
7
π
2
]
组卷：175引用：2难度：0.7
解析

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四、解答题（本题共6小题，17题10分，18-22题每题12分，解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）

21．2011年六月康菲公司由于机器故障，引起严重的石油泄漏，造成了海洋的巨大污染，某沿海渔场也受到污染．为降低污染，渔场迅速切断与海水联系，并决定在渔场中投放一种可与石油发生化学反应的药剂．已知每投放a（1≤a≤4，且a∈R）个单位的药剂，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（天）变化的函数关系式近似于y=af（x），其中f（x）=
16
8
-
x
-
1
（
0
≤
x
≤
4
）
5
-
1
2
x
（
4
＜
x
≤
10
）
，若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据实验，当水中药剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效治污的作用．称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）且不高于18（毫克/升）时称为最佳净化．
（Ⅰ）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？
（Ⅱ）若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放a个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试问a的最小值（精确到0.1，参考数据：
2
取1.4）．
组卷：162引用：3难度：0.3
解析
22．已知函数f（x）的定义域为D，若恰好存在n个不同的实数x₁，x₂，…，x_n∈D，使得f（-x_i）=-f（x_i）（其中i=1，2，…，n,n∈N^*），则称函数f（x）为“n级J函数”．
（1）若函数f（x）=x²-1，试判断函数f（x）是否为“n级J函数”，如果是，求出n的值，如果不是，请说明理由；
（2）若函数f（x）=2cosωx+1，x∈[-2π，2π]是“2022级J函数”，求正实数ω的取值范围；
（3）若函数
f
（
x
）
=
4
x
-
（
m
+
2
）
•
2
x
+
m
2
4
是定义在R上的“4级J函数”，求实数m的取值范围．
组卷：118引用：2难度：0.3
解析