2019-2020学年天津市南开中学高三（下）统练数学试卷（23）

一、选择题（共9小题；共45分）

• 1．已知集合A={2，3^a}，B={a,b}，若A∩B={3}，则A∪B=（　　）

  A．{0，1，2}

  B．{0，1，3}

  C．{0，2，3}

  D．{1，2，3}
  组卷：439引用：4难度：0.9

  解析

• 2．为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为

  ̂

  y

  =

  ̂

  b

  x+

  ̂

  a

  ，已知

  10

  ∑

  i

  =

  1

  x_i=225，

  10

  ∑

  i

  =

  1

  y_i=1600，

  ̂

  b

  =4，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（　　）

  A．160

  B．163

  C．166

  D．170
  组卷：3634引用：33难度：0.9

  解析

• 3．若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（　　）

  A．a+ 1 b ＜ b 2 a ＜log2（a+b）	B． b 2 a ＜log2（a+b）＜a+ 1 b
  C．a+ 1 b ＜log2（a+b）＜ b 2 a	D．log2（a+b）＜a+ 1 b ＜ b 2 a
  组卷：4094引用：12难度：0.7

  解析

• 4．设双曲线

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （a＞0，b＞0）的一个焦点为F（c,0）（c＞0），且离心率等于

  5

  ，若该双曲线的一条渐近线被圆x²+y²-2cx=0截得的弦长为2

  5

  ，则该双曲线的标准方程为（　　）

  A． x 2 20 - y 2 5 = 1	B． x 2 25 - y 2 100 = 1
  C． x 2 5 - y 2 20 = 1	D． x 2 5 - y 2 25 = 1
  组卷：595引用：4难度：0.5

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• 5．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD=

  π

  3

  ，AB=2，AD=1，若M、N分别是边AD、CD上的点，且满足

  MD

  AD

  =

  NC

  DC

  =λ，其中λ∈[0，1]，则

  AN

  •

  BM

  的取值范围是（　　）

  A．[-3，1]

  B．[-3，-1]

  C．[-1，1]

  D．[1，3]
  组卷：810引用：8难度：0.7

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• 6．如图所示的几何体是由一个三棱锥P-ABC与三棱柱ABC-A₁B₁C₁组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色（底面A₁B₁C₁不涂色），要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有（　　）

  A．6种

  B．9种

  C．12种

  D．36种
  组卷：1249引用：7难度：0.7

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三、解答题（共5小题；共65分）

• 19．已知函数f（x）=x-

  a

  x

  -2lnx,a∈R．
  （1）讨论函数f（x）的单调性；
  （2）若函数f（x）有两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂，
  ①求a的取值范围；
  ②证明：f（x₂）＜x₂-1．
  组卷：788引用：5难度：0.1

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• 20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的离心率为

  2

  2

  ，焦距为2．
  （Ⅰ）求椭圆E的方程．
  （Ⅱ）如图，动直线l：y=k₁x-

  3

  2

  交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC的斜率为k₂，且k₁k₂=

  2

  4

  ，M是线段OC延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：3，⊙M的半径为|MC|，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T，求∠SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．
  组卷：3594引用：5难度：0.1

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