2023-2024学年上海市黄浦区向明中学高三（上）期中数学试卷

一、填空题（本大题共12题，满分54分；第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

• 1．不等式

  1

  x

  ≤

  1

  的解集为

  ．
  组卷：87引用：14难度：0.7

  解析

• 2．复数z₁，z₂在复平面上对应的点分别为Z₁（1，2），Z₂（-1，3），则z₁+z₂=

  ．
  组卷：58引用：2难度：0.8

  解析

• 3．已知

  a

  =

  （

  -

  2

  ，

  3

  ）

  ，

  b

  =

  （

  2

  ，-

  1

  ）

  ，则

  a

  •

  b

  的值

  ．
  组卷：59引用：3难度：0.9

  解析

• 4．圆x²+y²-2x+y=0的圆心坐标为

  ．
  组卷：44引用：2难度：0.7

  解析

• 5．已知圆锥的侧面积为12π，母线长为4，则该圆锥的底面半径为

  ．
  组卷：40引用：2难度：0.8

  解析

• 6．已知

  tan

  α

  3

  =

  2

  ，则

  tan

  2

  α

  3

  =

  ．
  组卷：51引用：3难度：0.7

  解析

• 7．

  （

  x

  +

  1

  x

  2

  ）

  9

  的二项展开式中常数项是

  （用数字作答）．
  组卷：664引用：11难度：0.7

  解析

三、解答题（本大题共有5题，满分78分，以下各题需写出必要的解题步骤）

• 20．已知O为坐标原点，曲线C₁：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  0

  ）

  和曲线C₂：

  x

  2

  4

  +

  y

  2

  2

  =

  1

  有公共点，直线l₁：y=k₁x+b₁与曲线C₁的左支相交于A、B两点，线段AB的中点为M．
  （1）若曲线C₁和C₂有且仅有两个公共点，求曲线C₁的离心率和渐近线方程．
  （2）若a=2，直线l₁经过点（0，-3），且

  |

  AB

  |

  =

  4

  6

  7

  ，求直线l₁的方程．
  （3）若直线l₂：y=k₂x+b₂与曲线C₂相交于C、D两点，且直线OM经过线段CD中点N，求证：

  k

  2

  1

  +

  k

  2

  2

  ＞

  1

  ．
  组卷：59引用：1难度：0.5

  解析

• 21．九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，斑斓夺目的数学知识中函数尤为耀眼，加上数列知识的加持，犹如锦上添花．下面让我们通过下面这题来体会函数与数列之间的联系．已知

  f

  （

  x

  ）

  =

  lnx

  +

  1

  x

  ，g（x）=f（x）-x.
  （1）求函数f（x）的单调区间；
  （2）若数列

  a

  n

  =

  e

  n

  （e为自然底数），b_n=f（a_n），S_n=b₁+b₃+b₅+…+b_2n-1，

  T

  n

  =

  n

  ∑

  i

  =

  1

  b

  2

  i

  ，i,n∈N^*，求使得不等式：en²+S_n＞eT_n成立的正整数n的取值范围；
  （3）数列{c_n}满足0＜c₁＜1，c_n+1=f（c_n），n∈N^*．证明：对任意的n∈N^*，

  g

  （

  c

  n

  +

  1

  -

  c

  n

  +

  2

  c

  n

  +

  2

  -

  c

  n

  +

  3

  ）

  ＜

  0

  ．
  组卷：85引用：5难度：0.3

  解析