2022-2023学年上海市普陀区晋元高级中学高二（下）期中数学试卷

一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果

• 1．抛物线x²=4y的准线方程为

  ．
  组卷：193引用：32难度：0.7

  解析

• 2．已知P

  m

  8

  =8×7×6，则m=

  ．
  组卷：129引用：2难度：0.9

  解析

• 3．若3x₁+4y₁=1，3x₂+4y₂=1，且x₁≠x₂，则经过A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）的直线l的一般方程为

  ．
  组卷：118引用：2难度：0.8

  解析

• 4．函数y=f（x），其中f（x）=2x²，函数f（x）在区间[x₀，x₀+Δx]上的平均变化率为k₁，在[x₀-Δx,x₀]上的平均变化率为k₂，则k₁与k₂的大小关系是

  ．
  组卷：96引用：2难度：0.7

  解析

• 5．2名老师和6名学生站成一排，则2名老师恰好不相邻的排法数为

  ．
  组卷：43引用：2难度：0.7

  解析

• 6．已知函数y=f（x），满足f（x）=ln（2-3x），则它的导函数y′=

  （请注明定义域）．
  组卷：41引用：2难度：0.8

  解析

• 7．6本不同的书全部分给5个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为

  ．
  组卷：79引用：4难度：0.6

  解析

三、解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.

• 20．已知函数g（x）=ae^x-2x-ae^-x．
  （1）若a=2，求曲线y=g（x）在点（0，g（0））处的切线方程；
  （2）若函数y=g（x）在R上是单调函数，求实数a的取值范围；
  （3）设函数h（x）=ae^x，若在R上至少存在一点x₁，使得g（x₁）＞h（x₁）成立，求实数a的取值范围．
  组卷：76引用：3难度：0.5

  解析

• 21．17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示．四根等长的杆用铰链首尾链接，构成菱形LF₂KQ．带槽杆QF₁长为

  2

  2

  ，点F₁，F₂间的距离为2，转动杆QF₁一周的过程中始终有|QE|=|EF₂|．点M在线段F₁F₂的延长线上，且|MF₂|=1．
  （1）建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点E的轨迹Γ的方程；
  （2）过点F₂的直线l₁与Γ交于A，B两点．记直线MA，MB的斜率为k₁，k₂，证明：k₁+k₂为定值；
  （3）过点M作直线l₂垂直于直线F₁F₂，在l₂上任取一点N，对于（2）中的A，B两点，试证明：直线NA，NF₂，NB的斜率成等差数列．
  组卷：218引用：3难度：0.1

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