2022-2023学年河北省石家庄市北华中学高二（下）期中数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

• 1．已知函数f（x）可导，且满足

  lim

  Δ

  x

  →

  0

  f

  （

  3

  +

  Δ

  x

  ）

  -

  f

  （

  3

  ）

  Δ

  x

  =

  2

  ，则函数y=f（x）在x=3处的导数为（　　）

  A．2

  B．1

  C．-1

  D．-2
  组卷：141引用：5难度：0.8

  解析

• 2．已知

  A

  2

  n

  =

  C

  n

  -

  3

  n

  ，则n=（　　）

  A．6

  B．7

  C．8

  D．9
  组卷：153引用：9难度：0.8

  解析

• 3．下列导数运算正确的是（　　）

  A． （ sin π 3 ） ′ = cos π 3	B． （ log 3 x ） ′ = 1 x • lo g 3 e
  C．（e2x）′=e2x	D． （ 1 x ） ′ = 1 2 x 3
  组卷：158引用：5难度：0.8

  解析

• 4．已知直线l是曲线y=e^x的切线，切点横坐标为-1，直线l与x轴和y轴分别相交于A、B两点，则△OAB面积为（　　）

  A． 1 2

  B．1

  C． 2 e

  D． 4 e
  组卷：20引用：4难度：0.7

  解析

• 5．某人从2023年起，每年1月1日到银行新存入2万元（一年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2033年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为（　　）（单位：万元）参考数据：1.02⁹≈1.195，1.02¹⁰≈1.219，1.02¹¹≈1.243

  A．2.438

  B．19.9

  C．22.3

  D．24.3
  组卷：75引用：8难度：0.7

  解析

• 6．学校音乐团共有10人，其中4人只会弹吉他，2人只会打鼓，3人只会唱歌，另有1人既能弹吉他又会打鼓．现需要1名主唱，2名吉他手和1名鼓手组成一个乐队，则不同的组合方案共有（　　）

  A．36种

  B．78种

  C．87种

  D．90种
  组卷：106引用：3难度：0.7

  解析

• 7．已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f'（x）＜f（x）且f（x+2）为偶函数，f（0）=e⁴，则不等式f（x）＜e^x的解集为（　　）

  A．（-∞，4）

  B．（0，+∞）

  C．（2，+∞）

  D．（4，+∞）
  组卷：128引用：6难度：0.6

  解析

四、解答题：本题共6小题，17题10分，其余每题12分，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

• 21．已知x=1是函数f（x）=mx³-3（m+1）x²+nx+1的一个极值点，其中m、n∈R，m＜0．
  （1）求m与n的关系表达式；
  （2）求f（x）的单调区间；
  （3）当x∈（-1，1）时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m,求m的取值范围．
  组卷：202引用：3难度：0.1

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• 22．已知函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  x

  2

  e

  ，g（x）=2alnx（e为自然对数的底数）
  （1）求F（x）=f（x）-g（x）的单调区间，若F（x）有最值，请求出最值；
  （2）是否存在正常数a,使f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线？若存在，求出a的值，以及公共点坐标和公切线方程；若不存在，请说明理由．
  组卷：91引用：13难度：0.3

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