2023年吉林省长春市高考数学质检试卷（四）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

• 1．已知集合A={a,5-a,4}，B={3，2a+1}，A∪B={2，3，4，5}，则a=（　　）

  A．1

  B．2

  C．3

  D．4
  组卷：64引用：3难度：0.7

  解析

• 2．函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  1

  2

  x

  -

  sinx

  的图像有可能是（　　）

  A．	B．
  C．	D．
  组卷：169引用：3难度：0.8

  解析

• 3．已知复数iz=1+5i,则复数

  z

  +

  z

  =（　　）

  A．-10

  B．10

  C．-2

  D．2
  组卷：53引用：3难度：0.9

  解析

• 4．某高中社会实践小组为课题“高中生作业情况研究”进行周末作业时长调研，利用课间分别对高一、高二、高三年级进行随机采访，按年级人数比例进行抽样，各年级分别有效采访56人、62人、52人，经计算各年级周末作业完成时间分别为（平均）3小时、3.5小时、4.5小时，则估计总体平均数是（　　）

  A．3.54小时

  B．3.64小时

  C．3.67小时

  D．3.72小时
  组卷：117引用：2难度：0.7

  解析

• 5．设m,n∈{-2，-1，0，1，2，3}，曲线C：mx²+ny²=1，则下列说法正确的为（　　）

  A．曲线C表示双曲线的概率为 1 5

  B．曲线C表示椭圆的概率为 1 6

  C．曲线C表示圆的概率为 1 10

  D．曲线C表示两条直线的概率为 1 5
  组卷：94引用：3难度：0.6

  解析

• 6．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ（0°≤θ≤180°）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l=htanθ．对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为α，β，若第一次晷影长是“表高”的2倍，且

  tan

  （

  α

  -

  β

  ）

  =

  1

  3

  ，则第二次的晷影长是“表高”的（　　）倍．

  A．1

  B．2

  C．3

  D．4
  组卷：94引用：4难度：0.6

  解析

• 7．如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为BC，CD上的点，且

  BM

  =

  MC

  ，

  CN

  =

  2

  3

  CD

  ，连接AM，BN交于P点，若

  AP

  =

  λ

  PM

  ，

  BP

  =

  μ

  PN

  ，则λ+μ=（　　）

  A． 13 5

  B． 25 7

  C． 18 5

  D． 19 5
  组卷：104引用：2难度：0.7

  解析

四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

• 21．已知椭圆

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的离心率为

  2

  2

  ，四个顶点构成的四边形面积为

  2

  2

  ．
  （1）求椭圆方程；
  （2）若直线y=kx+m交椭圆于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且

  S

  △

  AOB

  =

  2

  2

  ，求证

  x

  2

  1

  +

  x

  2

  2

  为定值．
  组卷：69引用：1难度：0.5

  解析

• 22．函数f（x）=ln（x+1）．
  （1）求证∀x≥0：

  f

  （

  x

  ）

  ≤

  x

  x

  +

  1

  ；
  （2）若方程

  f

  （

  x

  ）

  =

  k

  x

  恰有两个根，求证：

  4

  5

  ＜

  k

  ＜

  3

  2

  ．
  组卷：29引用：2难度：0.3

  解析