2022-2023学年上海市徐汇区南洋模范中学高二（上）期中数学试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

• 1．两条异面直线所成的角的取值范围是

  ．
  组卷：178引用：17难度：0.7

  解析

• 2．已知向量

  a

  =（1，2，-2），则向量

  a

  的单位向量

  a

  0

  =

  ．
  组卷：370引用：4难度：0.8

  解析

• 3．若向量

  a

  =（4，2，-4），

  b

  =（6，-3，2），则（2

  a

  -3

  b

  ）•（

  a

  +2

  b

  ）=

  ．
  组卷：286引用：13难度：0.7

  解析

• 4．已知线段AB在平面α外，A、B两点到平面α的距离分别为1和3，则线段AB的中点到平面α的距离为

  ．
  组卷：151引用：14难度：0.7

  解析

• 5．在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD的边长为3，BD₁与底面所成角的大小为arctan

  2

  3

  ，则该正四棱柱的高等于

  ．
  组卷：999引用：5难度：0.5

  解析

• 6．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，二面角B-A₁C₁-D的大小为

  ．
  组卷：39引用：2难度：0.5

  解析

• 7．在空间中，给出下面四个命题，其中真命题为

  ．（填序号）
  ①过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直；
  ②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则α∥β；
  ③若直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；
  ④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线．
  组卷：64引用：3难度：0.7

  解析

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）

• 20．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD是菱形，底面AC∩BD=O，△PAC是边长为2的等边三角形，PB=PD=

  6

  ，AP=4AF．
  （1）求证：PO⊥底面ABCD；
  （2）求直线CP与OF所成角的大小；
  （3）在线段PB上是否存在点M，使得CM∥平面BDF？如果存在，求

  BM

  BP

  的值；如果不存在，请说明理由．
  组卷：75引用：3难度：0.6

  解析

• 21．如图，在△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c,∠ACB=θ，现将△ABC分别以BC、AC、AB所在的直线为轴旋转一周，设所得三个旋转体的体积依次为V₁、V₂、V₃．
  （1）若a=4，b=3，c=5，求以AB为轴旋转一周所得几何体的表面积；
  （2）求

  T

  =

  V

  3

  V

  1

  +

  V

  2

  ；（用a、b、c表示）
  （3）若θ=120°，并令

  a

  +

  b

  c

  =

  x

  ，将T表示为x的函数，写出这个函数的定义域并求该函数的最大值．
  组卷：55引用：2难度：0.5

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