2023-2024学年湖北省武汉市华中师大一附中高二（上）期中数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

• 1．如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为A₁C₁，B₁D₁的交点．若

  AB

  =

  a

  ，

  AD

  =

  b

  ，

  A

  A

  1

  =

  c

  ，则向量

  BM

  =（　　）

  A．- 1 2 a + 1 2 b + c

  B． 1 2 a + 1 2 b + c

  C．- 1 2 a - 1 2 b + c

  D． 1 2 a - 1 2 b + c
  组卷：1915引用：49难度：0.7

  解析

• 2．平面内到两定点A（-6，0），B（0，8）的距离之差等于10的点的轨迹为（　　）

  A．椭圆	B．双曲线
  C．双曲线的一支	D．以上选项都不对
  组卷：18引用：2难度：0.7

  解析

• 3．“k＞4”是“方程x²+y²+kx+（k-2）y+5=0表示圆的方程”的（　　）

  A．充分不必要条件	B．必要不充分条件
  C．充要条件	D．既不充分也不必要条件
  组卷：291引用：5难度：0.7

  解析

• 4．已知椭圆C：

  x

  2

  4

  +

  y

  2

  k

  +

  1

  =1的离心率为

  1

  2

  ，则实数k的值为（　　）

  A．2

  B．2或7

  C．2或 13 3

  D．7或 13 3
  组卷：212引用：4难度：0.7

  解析

• 5．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F₁上，片门位于另一个焦点F₂上．由椭圆的一个焦点F₁发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F₂．已知BF₁⊥F₁F₂，|F₁B|=

  5

  3

  ，|F₁F₂|=4．若透明窗DE所在的直线与截口BAC所在的椭圆交于一点P，且∠F₁PF₂=90°，则△PF₁F₂的面积为（　　）

  A．2

  B． 2 2

  C． 5 3

  D．5
  组卷：49引用：1难度：0.6

  解析

• 6．已知圆C₁：（x-a）²+（y+3）²=9与圆C₂：（x+b）²+（y+1）²=1外切，则ab的最大值为（　　）

  A．2

  B． 2 2

  C． 5 2

  D．3
  组卷：134引用：4难度：0.5

  解析

• 7．如图所示，三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，∠BCD=

  π

  2

  ，BC=2AB=2CD=2，点P为棱AC的中点，E，F分别为直线DP，AB上的动点，则线段EF的最小值为（　　）

  A． 2 4

  B． 2 2

  C． 10 4

  D． 5 2
  组卷：71引用：2难度：0.5

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

• 21．如图，在多面体ABCDEF中，侧面BCDF为菱形，侧面ACDE为直角梯形，AC∥DE，AC⊥CD，N为AB的中点，点M为线段DF上一动点，且BC=2

  3

  ，AC=2DE，∠DCB=120°．
  （1）若点M为线段DF的中点，证明：MN∥平面ACDE；
  （2）若平面BCDF⊥平面ACDE，且DE=2，问：线段DF上是否存在点M，使得直线MN与平面ABF所成角的正弦值为

  3

  10

  ？若存在，求出

  DM

  DF

  的值；若不存在，请说明理由．
  组卷：81引用：3难度：0.5

  解析

• 22．已知椭圆C：

  x

  2

  4

  +

  y

  2

  3

  =1的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，过点A且斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于点P．
  （1）若|AP|=

  12

  2

  7

  ，求k的值；
  （2）若圆F是以F为圆心，1为半径的圆，连接PF，线段PF交圆F于点T，射线AP上存在一点Q，使得

  QT

  •

  BT

  为定值，证明：点Q在定直线上．
  组卷：69引用：1难度：0.5

  解析