2022年湖南省长沙市雅礼中学高考数学模拟试卷（一）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

• 1．已知复数

  z

  =

  i

  2

  +

  i

  （i为虚数单位），则|z|=（　　）

  A． 5

  B． 5 5

  C． 3

  D． 3 3
  组卷：50引用：2难度：0.8

  解析

• 2．已知集合A={x∈Z|-3≤x＜4}，B={x|log₂（x+2）＜2}，则A∩B的子集个数为（　　）

  A．3

  B．7

  C．8

  D．128
  组卷：61引用：2难度：0.7

  解析

• 3．函数f（x）=（

  2

  1

  +

  e

  x

  -1）sinx图象的大致形状是（　　）

  A．

  B．

  C．

  D．
  组卷：3168引用：33难度：0.9

  解析

• 4．《增减算法统宗》中，许多数学问题都是以歌诀的形式出现的．其中有一首“葛藤缠木”，大意是说：有根高2丈的圆木柱，该圆木的周长为3尺，有根葛藤从圆木的根部向上生长，缓慢地自下而上均匀绕该圆木7周，刚好长的和圆木一样高．已知1丈等于10尺，则能推算出该葛长为（　　）

  A．21尺

  B．25尺

  C．29尺

  D．33尺
  组卷：109引用：9难度：0.8

  解析

• 5．“x,y为无理数”是“xy为无理数”的（　　）

  A．充分不必要条件	B．必要不充分条件
  C．充要条件	D．既不充分也不必要条件
  组卷：296引用：5难度：0.7

  解析

• 6．下列对不等关系的判断，正确的是（　　）

  A．若 1 a ＜ 1 b ，则a3＞b3	B．若 | a | a 2 ＞ | b | b 2 ，则2a＜2b
  C．若lna2＞lnb2，则2|a|＞2|b|	D．若tana＞tanb,则a＞b
  组卷：415引用：6难度：0.8

  解析

• 7．已知双曲线C：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  3

  =1（a＞0）的右焦点为F，圆x²+y²=c²（c为双曲线的半焦距）与双曲线C的一条渐近线交于A，B两点，且线段AF的中点M落在另一条渐近线上，则双曲线C的方程是（　　）

  A． x 2 4 - y 2 3 =1

  B． x 2 3 - y 2 3 =1

  C． x 2 2 - y 2 3 =1

  D．x2- y 2 3 =1
  组卷：1476引用：4难度：0.7

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

• 21．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线l与抛物线C交于A，B两点，抛物线C的准线与x轴的交点为K，已知△KAB的面积为4．
  （1）求抛物线C的方程；
  （2）已知E（-1，4），M（-1，-4），若P在线段EM上，PH，PG是抛物线C的两条切线，切点为H，G，求△PHG面积的最大值．
  组卷：135引用：2难度：0.5

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• 22．已知函数f（x）=sinx.
  （1）当x≥0时，设

  g

  （

  x

  ）

  =

  f

  ′

  （

  x

  ）

  +

  x

  2

  2

  -

  1

  ，求y=g（x）（x≥0）的最小值；
  （2）若f（x）+1≥ax+cosx在[0，π]上恒成立，求实数a的取值范围；
  （3）证明：

  f

  （

  π

  2

  n

  +

  1

  ）

  +

  f

  （

  2

  π

  2

  n

  +

  1

  ）

  +

  ⋯

  +

  f

  （

  （

  n

  +

  1

  ）

  π

  2

  n

  +

  1

  ）

  ≥

  3

  2

  （

  n

  +

  1

  ）

  4

  （

  2

  n

  +

  1

  ）

  ．
  组卷：232引用：3难度：0.2

  解析